Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 13 c
Uma partícula no potencial do oscilador harmônico está no estado
c) Calcule e . Não se empolgue muito se eles oscilarem na frequência clássica; o que poderia ter acontecido se eu tivesse especificado em vez de ? Verifique o que o teorema de Ehrenfest (Equação ) guarda para essa função de onda.
Passo 1
Vamos calcular o valor esperado da posição com o resultado do item anterior:
Como vimos na questão , as duas primeiras integrais se anulam, pois o integrando é uma função ímpar. Com isso, nos resta:
Simplificando, chegamos em:
Mais uma vez, nos deparamos com uma integral Gaussiana. Resolvendo, chegamos em:
Ou seja, o valor esperado da partícula oscila com frequência em torno da origem.
Passo 2
A partir do resultado obtido, para o momento, temos:
Passo 3
Caso, em vez de termos , tivéssemos , a frequência de oscilação da partícula passaria a ser:
Então o fato de a partícula oscilar coma frequência clássica é uma coincidência.
Passo 4
Vamos verificar o teorema de Ehrenfest. A relação a qual o enunciado faz referência é a seguinte:
Assim, vamos calcular cada um independentemente e ver se a igualdade é verdadeira. Para o primeiro termo:
Já para o segundo, vem:
Com isso:
Ou seja, pode-se notar facilmente que a igualdade se mantém válida!