Enunciado

Uma partícula está submetida a uma força F = ux(2xy) + uy(x²) no sistema MKSC. Determine o trabalho realizado pela força quando a partícula é deslocada do ponto (O, O) ao ponto (2,4) ao longo de cada um dos seguintes caminhos: (a) ao longo do eixo X de (0,0) a (2,0) e paralelamente ao eixo Y até (2, 4); (b) ao longo de Y de (0,0) a (0,4) e paralelamente a X até (2, 4); (c) ao longo de uma reta que passa por ambos os pontos; (cl) ao longo ela parábola y = x². Essa é uma força conservativa?

Passo 1

Fala galeraa, tudo bem??

Vamos realizar o trabalho em todos os deslocamentos. Em a, temos de (0,0) a (0,4) no eixo Y. Temos, então:

y=0; de A a C:

F = - x 2 V x ;   d 𝔀

= F * d r = - x ² d x = - ∫ 0 2 x ² d x

= - 1 / 3 * x 3 | 2 - 0 | = - 1 / 3 * 8 = - 8 / 3

Logo,

𝔀 = - 8 / 3   J

Passo 2

de C a B, x=z:

F = ( 8 y ) d x + 16 d y ;   d 𝔀 = F * d r = 16 d y = ∫ 0 4 16 d y = 16 * y | 4 - 0 | = 16 * 4 ⇒ 𝔀 = 64 J

Agora, precisamos somar ambos os trabalhos para encontrar o total:

𝔀 = 64 J - 8 / 3 J ∼ 45,3 J

Passo 3

Na letra b, temos de (0,0) a (0,4) no eixo Y e paralelamente a X em (2,4). Temos, então:

x=0; de A a D:

F = 2 y V x ;   d 𝔀 = F * d r = 0

de D a B, y=4:

F = ( 8 x ) V x + x ² V y ;   d 𝔀 = F * d r = 8 x   d x   = 4 x ² | 2 - 0 |   = 16 ⇒ 𝔀 = 16   J

𝔀 = 16   J

Passo 4

Na letra c, temos:

F = 6 x V x + 3 x ² V y , como:

d r = V x d x + V y d y

d 𝔀 = F * d r = ( 6 x V x + 3 x ² V y ) * V x d x + V y d y

Resolvendo esta equação, chegamos em:

𝔀 = 40   J

Passo 5

Na letra d, temos:

d r = V x d x + V y d y

d 𝔀 = F * d r = ( 2 x y ) d x + x ² d y

𝔀 = 2 x ² / 2 | 2 - 0 | + 2 x   | 4 - 0 | = 2 + 8 = 10

𝔀 = 10   J

O trabalho dado pela força depende do gráfico, logo, a força não é conservativa!

Resposta

a. 45,3 J

b. 16 J

c. 40J

d. 10 J

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