Um pêndulo, constituído de uma massa de 1 kg no extremo de uma barra leve de 1 m, oscila com uma amplitude de 0,1 m. Calcule as seguintes grandezas: (a) frequência de oscilação, (b) energia da oscilação, (c) valor aproximado do número quântico para oscilação, (d) separação entre energias possíveis adjacentes, (e) separação em distância entre os máximos adjacentes na função densidade de probabilidade nas vizinhanças do ponto de equilíbrio.

A frequência para um pêndulo de comprimento é

Aqui, é a aceleração devido à gravidade.

A energia potencial de uma mola com constante e extensão máxima é

A frequência de uma mola de massa e constante de mola é

A equação de Planck diz que a energia de um oscilador é proporcional ao produto da constante de Planck e frequência de oscilação

Aqui, é o número de quantum’s no sistema

a) para ter a frequência de oscilação para o pêndulo, temos

b) para ter a energia de oscilação para o pêndulo, usamos a Equação de energia interna , ainda que seja pra energia de uma mola. Isso porque como a mola, o pêndulo é um movimento periódico. Então a equação pode ser usada se a constante de mola efetiva para o pêndulo é achada. Para isso, fazemos:

Usando esse valor de para a energia interna

Substituindo os valores:

c) para achar o número de quantum’s para a oscilação, resolvemos para e substituímos os valores

d) para achar a separação entre energia, usamos

e) para achar a distância entre os picos na função de probabilidade de densidade do pêndulo, podemos notar que a distância total coberta pelo pêndulo é igual a .

E essa distância é dividida entre os antídotos que estão presentes na função da densidade. Então a mudança na distância entre os antídotos adjacentes é só dividido por :