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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 20.1 - Ex. 59

Um pequeno lago tem uma camada de gelo com 1,00   c m de espessura flutuando em sua superfície. (a) Se a temperatura do ar for – 10 ° C em um dia em que houver brisa, determine a taxa em centímetros por hora em que o gelo é adicionado ao fundo da camada. A densidade do gelo é de 0,917 g / c m 3 . (b) Quanto tempo você e seus amigos precisam esperar para que uma camada de 20,0   c m seja construída para que você possa jogar hóquei?

Passo 1

Bom, conforme a água congela, a massa de gelo aumenta, então precisamos escrever uma taxa do aumento de massa e relacioná-la com a taxa de transferência de calor, vamos usar a equação de calor latente, já que a água está solidificando:

Q = m L f u s ã o

O L será o mesmo tanto para fundir o gelo quanto para solidificar a água, por isso o subíndice.

Agora fazemos a derivada com relação ao tempo para o calor:

d Q d t = d d t ( m L f u s ã o )

E como a massa varia com o tempo, ela é função de t, então:

d Q d t = L f u s ã o d m d t

Passo 2

Como o enunciado nos dá a densidade, vamos reescrever a massa:

m = ρ V = ρ A x

Escrevemos o volume como produto da profundidade pela área, pois a área permanece constante, mas a quantidade de gelo varia pela variação da profundidade que ele atinge conforme a água congela.

Escrevendo a derivada de m:

d m d t = ρ A d x d t

Passo 3

E por final vamos usar a equação de corrente térmica:

d Q d t = k A ∆ T x

E igualarmos à equação do passo 1:

k A ∆ T x = L f u s ã o d m d t

Substituindo a derivada da massa:

k A ∆ T x = L f u s ã o ρ A d x d t

Separando dx/dt e simplificando:

d x d t = k ∆ T ρ x L f u s ã o

Substituindo valores numéricos:

d x d t = 0.592 W m . K ( 0 ° C - - 10 ° C ) ( 0.01 m ) ( 0.917 g / c m 3 ) 333.5 k J k g

d x d t = 0.70   c m / h

Passo 4

Para a letra (b), basta separarmos as variáveis da equação do passo anterior e resolvermos a integral com os limites dados no enunciado:

x d x = k ∆ T ρ L f u s ã o d t

E ao integrarmos:

1 2 x f 2 - x i 2 = k ∆ T ρ L f u s ã o t

Colocamos o tempo inicial igual a zero, e o final igual a t.

Isolando t:

t = x f 2 - x i 2 ρ L f u s ã o 2 k ∆ T

Substituindo valores:

t = ( 0.200 m ) 2 - ( 0.010 m ) 2 ( 0.917 g / c m 3 ) 333.5 k J k g 2 0.592 W m . K ( 0 ° C - - 10 ° C )

t = 12 d

Resposta

( a ) d x d t = 0.70   c m / h

b 12 d

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