O planeta Júpiter, que gira em torno de seu eixo uma vez em cada 9 h   51   m i n , tem um raio aproximado ele 7 × 10 4   k m , e a aceleração da gravidade em sua superfície é de 26,5   m / s 2 . Qual é o máximo desvio de um fio de prumo com relação à direção radial sobre a superfície de Júpiter?

Passo 1

E aí, beleza?? Devemos considerar primeiramente que o fio de prumo estará sujeito a duas forças: a gravitacional e a centrífuga, no referencial de Júpiter. Assim, temos:

A aceleração centrífuga é dada por:

a c f g = ω 2 R   s e n ( θ )

Portanto, a aceleração centrífuga na direção radial na direção tangencial são:

a r = ω 2 R   s e n 2 ( θ )

a t = ω 2 R   s e n θ cos ⁡ ( θ )

Passo 2

Desse modo, para a gravidade efetiva, temos:

A inclinação em relação à vertical fica:

tan ⁡ ( ϕ ) = ω 2 R   s e n θ cos ⁡ ( θ ) g - ω 2 R   s e n 2 ( θ )

Passo 3

Para maximizar o ângulo, devemos derivar e igualar a zero. Portanto, derivando, chegamos em:

tan ⁡ ϕ ' =

= ω 2 R cos 2 ⁡ θ - s e n 2 ( θ ) g - ω 2 R   s e n 2 ( θ ) + ω 2 R s e n θ cos ⁡ θ ∙ 2 ω 2 R s e n θ cos ⁡ ( θ ) g - ω 2 R   s e n 2 θ 2

Escrevendo em termos de 2 θ :

tan ⁡ ϕ ' = ω 4 R 2 cos ⁡ 2 θ ∙ g ω 2 R - 1 - cos ⁡ 2 θ 2 + s e n 2 θ 2 ∙ s e n 2 θ g - ω 2 R   s e n 2 θ 2 = 0

Portanto:

cos 2 ⁡ 2 θ 2 + g ω 2 R - 1 cos ⁡ ( 2 θ ) + s e n 2 2 θ 2 = 0

Assim:

cos ⁡ 2 θ = 1 2 1 - g ω 2 R ∴ θ = 1 2 acos ⁡ 1 2 1 - g ω 2 R

Substituindo os valores, vem:

θ ≈ 30 °

Portanto:

tan ⁡ ϕ m a x = - 1,83 ∴ ϕ = - 61 °

Perceba que o ângulo é negativo, pois, na verdade, a força centrífuga de Júpiter no equador é maior que a gravitacional. Assim, há uma tendência do fio de prumo estar na posição ϕ = π , sendo então deslocado a partir dessa posição devido à componente tangencial da força centrífuga.

Resposta

δ ≈ 61 °

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