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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 43

No Problema 2.22 você analisou o pacote de onda gaussiano estacionário da partícula livre. Agora, resolva o mesmo problema para o pacote de onda gaussiano móvel, começando pela função de onda inicial

ψ x , 0 = A * e - α x * e i l x

na qual l é uma constante real.

Passo 1

Assim como em 2.42, temos a equação normalizada:

A = 2 a π 1 4

Além disso, basta olharmos a seção e a equação 2.103, que diz o seguinte:

φ k = 1 2 π * 2 a π 1 4 ∫ - ∞ ∞ e - a x ² e i l x e - i k x d x

É uma equação enorme, né? Mas calma, vamos entendê-la e realizar as alterações necessárias. Como nós desejamos encontrar a função de onda móvel, então ele percorrerá a distância de k-l, já que l é a constante de deslocamento. Assim, teremos que

k → k - l e, substituindo este dado na equação anterior, teremos a nova variante:

φ k → k - l   =   1 ( 2 π a ) 1 4 * e - ( k - l ) ² 4 a

Dessa forma, nós teremos, para resolver a equação de onda desejada:

ψ x , 0 = A * e - α x * e i l x

Em função do tempo, teremos:

ψ x , t = 1 2 π 1 ( 2 π a ) 1 4 ∫ - ∞ ∞ e - ( k - l ) ² 4 a e i ( k x - h k 2 t 2 m ) d k

Fazendo as alterações necessárias, teremos:

ψ x , t = 1 2 π 1 2 π a 1 4 ∫ - ∞ ∞ e - l 2 4 a e - 1 4 a + i h t 2 m k 2 - i x + 1 2 a k d k = 1 2 π 1 2 π a 1 4 e - l 2 4 a * π 1 4 a + i h t 2 m * e i x + l 2 a 2 4 1 4 a + i h t 2 m = 2 a π 1 4 * 1 / 1 + 2 i h a t m * e - ( l ) ² 4 a * e i x + l 2 a 2 4 1 4 a + i h t 2 m  

Passo 2

Nós encontramos a equação de onda para x em unção do tempo. Mas devemos lembrar que além de translação, a onda realiza também rotação. Por conta disso, se pensarmos o que a multiplicação de h a t m representa, vamos concluir que é esse ângulo de rotação, que nomearemos θ. Assim, teremos:

ψ x , t = 1 1 + θ 2 1 - i θ i x + l 2 a 2 + 1 + i θ - i x + l 2 a 2

=   1 1 + θ 2 - x 2 + i x l a + l 2 4 a 2 + - x 2 - i x l a + l 2 4 a 2 + i θ x 2 - i x l a - l 2 4 a 2 + i θ - x 2 - i x l a + l 2 4 a 2

=   - 2 1 + θ 2 x - θ l 2 a 2 + l 2 2 a 2

Passo 3

A partir da equação acima, conseguimos concluir que

ψ x , t 2 = 2 π * a 1 + θ 2 * e - l 2 2 a * e - 2 a 1 + θ 2 x - θ l 2 a 2 * e l 2 2 a 2

Como ω =   a 1 + θ 2 , temos que

ψ x , t 2 = 2 π * ω * e - 2 ω 2 x - θ l 2 a 2

Como podemos ver, o resultado é semelhante ao anterior. Obtivemos a mesma fórmula de Gauss, porém, com x → x - θ l 2 a = ( x - h l m t ) , então ψ x , t ² e o centro se movendo a uma velocidade constante, v = l m .

Passo 4

Precisamos, agora, encontrar ! Pela equação fundamental, sabemos que

< x >   =   ∫ - ∞ ∞ x * ψ x , t ²   d x

Lembrando um passo muito importante para a resolução dessa integral:

y = x - θ t 2 a = x - v t ,   l o g o ,   x = y + v t

Substituindo x e ψ na equação:

v t =   ∫ - ∞ ∞ ( y + v t ) * 2 π * ω * e - 2 ω 2 y 2 d y

Resolvendo essas integrais, nós encontraremos, para a primeira integral, o valor 0. Para a segunda, por normalização, encontraremos:

x = h l m t

E, como sabemos,

< p >   = m * d < x > d t = m * d d t h l t m = 1 * h l = h l

Agora, conseguimos calcular a integral acima desejada:

< x 2 >   = ∫ - ∞ ∞ y + v t 2 * 2 π * ω * e - 2 ω 2 y 2 d y = 1 4 ω 2 + 0 + v t 2

Substituindo com x:

< x ² >   = 1 4 ω 2 + h l t m 2 , logo, < p ² >   = - h 2 ∫ - ∞ ∞ ψ * d 2 ψ d x ² d x

Passo 5

Como encontramos lá em cima, no passo 1, temos:

ψ =   2 a π 1 4 * 1 / 1 + 2 i h a t m * e - ( l ) ² 4 a * e i x + l 2 a 2 4 1 4 a + i h t 2 m   e, para calculas

, precisamos da segunda derivada dessa equação enorme. Se calcularmos ela, iremos encontrar:

d 2 ψ d x ² = d ψ d x 2 i a i x + l 2 a 1 + i θ + 2 i 2 a 1 + i θ ψ = - 4 a 2 i x + l 2 a 2 1 + i θ 2 - 2 a 1 + i θ ψ

Agora, após encontrar esse monstrinho (rs), vamos continuar o cálculo de

:

< p 2 >   = - h 2 ∫ - ∞ ∞ ψ * d 2 ψ d x 2 d x = 4 a 2 h 2 1 + i θ 2 ∫ - ∞ ∞ i x + l 2 a 2 + 1 + i θ 2 a ψ 2 d x

Realizando estes cálculos, vamos chegar em algo do tipo:

< p 2 >   = a h 1 + i θ - 1 - i θ + l 2 a 1 + i θ + 2 = a h 2 1 + i θ 1 + i θ 1 + l 2 a = h 2 a + l 2

Passo 6

Estamos quase acabando! O próximo passo é lembrar que, o pacote de onda móvel é definido por:

σ 2 x = < x 2 > - < x > 2 = 1 4 ω 2 + h l t m 2 - h l t m 2 = 1 4 ω 2

Logo, finalmente, encontramos:

σ x = 1 2 ω

Resposta

σ x = 1 2 ω

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