Esse problema foi projetado para guia-lo durante a ‘verificação’ do teorema de Plancherel, começando pela teoria de Fourier comum em um intervalo finito e depois permitindo que esse intervalo se expanda ao infinito.

b) Demonstre (por meio da modificação apropriada do truque de Fourier) que

Para resolver essa integral, temos que analisar dois casos. Vamos ao primeiro: :

Portanto, como e são inteiros, da relação de Euler, vem:

Assim, vem:

Ou seja, caso , a integral se anula.

Agora, caso , temos:

Portando, a relação para fica:

E, por fim:

Como queríamos demonstrar!