Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 20 a

Esse problema foi projetado para guia-lo durante a ‘verificação’ do teorema de Plancherel, começando pela teoria de Fourier comum em um intervalo finito e depois permitindo que esse intervalo se expanda ao infinito.

a)O teorema de Dirichlet diz que ‘qualquer’ função f x no intervalo - a , + a pode ser expandida como uma série de Fourier:

f x = ∑ n = 0 ∞ [ a n sen ⁡ n π x a + b n   c o s ⁡ ( n π x a ) ]

Demonstre que isso pode ser escrito equivalentemente como

f x = ∑ n = - ∞ ∞ c n   e i n π x a  

O que é c n em termos de a n e b n ?

Passo 1

E aí, tudo bom? Para resolver esse problema, vamos novamente usar a relação de Euler. Note também que o somatório envolvendo os índices c n possui o índice variando de - ∞ até + ∞ , em vez do somatório anterior. Portanto, vamos às contas:

f x = ∑ n = 0 ∞ a n e i n π a x - e - i n π a x 2 i + b n e i n π a x + e - i n π a x 2

Assim, vamos separar em dois somatórios:

f x = ∑ n = 0 ∞ a n 2 i + b n 2 e i n π a x   + ∑ n = 0 ∞ - a n 2 i + b n 2 e - i n π a x

Passo 2

Retirando o termo que corresponde ao índice n = 0 , ficamos com:

f x = b 0 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 i + b n 2 e i n π a x   + ∑ n = 1 ∞ - a n 2 i + b n 2 e - i n π a x

Portanto, vamos fazer c 0 ≡ b 0 , c n = a n 2 i + b n 2 para n = 1   ,   2   ,   3 … e c n = - a - n 2 i + b - n 2 para n =   - 1   ,   - 2   ,   - 3 … Assim, podemos reescrever f ( x ) como:

f x = ∑ n = - ∞ ∞ c n   e i n π a x

Como queríamos demonstrar! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro