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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 14

Prove que L o p 2   ψ n l m l = l l + 1 h 2 ψ n l m l   (Sugestão: Use a equação diferencial satisfeita por Θ l m l ( θ ) (7-16).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

Primeiramente, nós precisamos do operador do momento angular, que é dado por:

L o p 2 = - h 2 1 s e n   θ   ∂ ∂ θ s e n   θ ∂ ∂ θ + 1 s e n 2   θ ∂ 2 ∂ φ 2

Já temos o operador, agora é termos a função de onda:

Ψ n l m l = R n l r Θ l m l θ Φ m l ( φ )

Com a seguinte condição:

Φ m l φ = e i m l φ

Portanto, nós temos a seguinte relação no caso das derivadas segundas:

∂ 2 ∂ φ 2 = - m l 2 e i m l φ =   - m 2 Φ m l φ

Passo 2

Bem, já temos meio caminho andado, e sabemos que Θ l m l θ satisfaz a seguinte relação:

- 1 s e n   θ ∂ ∂ θ s e n   θ ∂ ∂ θ Θ l m l θ + m l 2 s e n 2   θ   Θ l m l θ = l l + 1 Θ l m l ( θ )

Manipulando um pouquinho essa conta, nós temos:

1 s e n   θ ∂ ∂ θ s e n   θ ∂ ∂ θ Θ l m l θ = m l 2 s e n 2   θ Θ l m l θ - l l + 1 Θ l m l ( θ )

A ação desse operador na função de onda é ser o autovalor, logo, no caso do momento angular, temos que a função de onda é a autofunção.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro