Enunciado

Prove que a energia necessária para construir-se um corpo esférico de raio R pela adição sucessiva de camadas de matéria, à maneira ele uma cebola, até atingir o raio final (mantendo a densidade constante) é E P = - 3 γ M 2 / 5 R .

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos assumir que um dado instante, o corpo em construção possui raio r e, portanto, como a densidade é constante, possui massa m = M r R 3 . Assim, o trabalho para agregar mais um d m é:

d W = - G m r ' 2 d m   d r ' ∴ W = ∫ m = 0 m = M ∫ r ' = ∞ r ' = r - G m r ' 2 d r '   d m

Passo 2

Portanto, resolvendo a integral, temos:

W = ∫ 0 M G m r r d m = G ∫ 0 R M r R 3 r   M   3 r 2 R 3 d r

W = 3 G M 2 R 6 ∫ 0 R r 4 d r = 3 G M 2 R 6 R 5 5  

Portanto:

W = 3 G M 2 5 R

Passo 3

Portanto, para a energia potencial:

E p = - W ∴ E p = - 3 G M 2 5 R

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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