Prove que a lei de transformação de acelerações pode ser escrita na forma vetorial

a ' → = 1 γ 3 1 - V → ∙ v → c 2 3 a → + 1 γ - 1 a → ∙ v → v 2 v → - 1 c 2   v → × a → × V →

Passo 1

E aí, beleza?? Fazendo o mesmo da questão anterior, agora para as acelerações, considerando as transformadas obtidas no problema 4.39 , temos:

a ' / / → = a / / → 1 γ 3 1 - v V / / c 2 3 = a → ∙ v → v 2   v → γ 3 1 - V → ∙ v → c 2 3

Passo 2

Sem perda de generalidade, podemos assumir que v → = ( v , 0,0 ) . Assim, vem:

a → × V → = i ^ a x V x j ^ a y V y k ^ a z V z = a y V z - a z V y   ,   a z V x - a x V z   , a x V y - a y V x = β 1 , β 2 , β 3

Assim:

v → × a → × V → = i ^ v β 1 j ^ 0 β 2 k ^ 0 β 3 = v 0 , - β 3 , β 2

Ou seja:

v → × a → × V → = v V x 0 , a y , a z - v a x 0 , V y , V z

Portanto, considerando os dois eixos perpendiculares somados, temos:

a ' → ⊥ = 1 γ 2 1 - v → ∙ V → c 2 2 0 , a y , a z + v a x c 2 1 - V → ∙ v → c 2 0 , V y , V z

Assim, substituindo o produto vetorial, temos:

a ' → ⊥ = 1 γ 2 1 - v → ∙ V → c 2 2 0 , a y , a z + 1 c 2 1 - V → ∙ v → c 2   v V x   0 , a y , a z - v → × a → × V → c 2 1 - V → ∙ v → c 2  

a ' → ⊥ = 1 γ 2 1 - v → ∙ V → c 2 3 1 - V → ∙ v → c 2 a → ⊥ + 1 c 2 v → ∙ V → a → ⊥ - 1 c 2 v → × a → × V →

Portanto:

a ' → ⊥ = 1 γ 2 1 - v → ∙ V → c 2 3 a → ⊥ - 1 c 2 v → × a → × V →

Por fim:

a ' → ⊥ = 1 γ 2 1 - v → ∙ V → c 2 3 a → - a → ∙ v → v 2   v → - 1 c 2 v → × a → × V →

Passo 3

Então, somando as duas acelerações:

a ' → = 1 γ 2 1 - v → ∙ V → c 2 3 a → + 1 γ - 1 a → ∙ v → v 2   v → - 1 c 2 v → × a → × V →

Perceba que a transformação correta difere da pedida pelo enunciado por um fator de 1 / γ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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