Enunciado

Prove que, para movimento plano com aceleração constante a , as seguintes relações são satisfatórias:

v 2 = v 0 + 2 a r - r 0

E

r = 1 2 v + v 0 t

Passo 1

Opaaa tudo bem?

É sempre legal fazer esses exercícios de provar relações. Geralmente só aceitamos o que o professor fala pra gente, ou só vemos ele provar e não ligamos muito. Mas se você entender a prova da equação, vai ficar bem mais fácil pros problemas, beleza? Então vamos lá!

Passo 2

A aceleração é dada como a taxa de variação da velocidade no tempo

a → = d v → d t

Multiplicando os dois lados da equação por d r → (pedaço de um vetor posição)

a → ⋅ d r → = d v → d t ⋅ d r → → a → ⋅ d r → = d r → d t ⋅ d v →

Temos do lado direito, um termo conhecido. Você lembra o que é a taxa de variação da posição no tempo?

É isso mesmo! É a velocidade, né? Então podemos reduzir essa equação a:

a → ⋅ d r → = v → ⋅ d v →

Passo 3

Aplicando integral dos dois lados da equação, temos

∫ r 0 r a → ⋅ d r → = ∫ v 0 v v → ⋅ d v →

O enunciado fala pra gente que a aceleração é constante, então podemos retirar da integral

a → ∫ r 0 r d r → = ∫ v 0 v v → ⋅ d v →

Resolvendo essa integral temos

a → ⋅ r → - r → 0 = 1 2 v → 2 - v → 0 2

Isolando v → 2 podemos obter a relação pedida

v → 2 = v → 0 + 2 a → r → - r → 0

Passo 4

Neste tempo percorrerá uma distância R , e temos uma relação básica v = Δ s Δ t e a distância é R

R = v 0 x t

Substituindo a relação para t obtida anteriormente

R = v 2 h g

Passo 5

Para a segunda parte, temos que a distância ( r → ) é definida por

r → = v → 0 t + a → t 2 2

E a velocidade é definida como

v → = v → 0 + a → t

Substituindo essa equação para a velocidade na equação para a posição temos

r → = t 2 2 v → 0 + a → t = t 2 v → 0 + v → 0 + a → t = t 2 v → + v → 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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