Prove que

V 1 → × V 2 → × V 3 → = V 1 → ∙ V 3 →   V 2 → - V 1 → ∙ V 2 →   V 3 →

[Sugestão: tome o eixo X na direção de V 3 , e o eixo Y tal que V 2 esteja no plano X Y e verifique por expansão direta.)

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos resolve essa questão utilizando a sugestão nos dada. Ou seja:

V 3 → = V 3 , 0,0       ;         V 2 → = V 2 x   ,   V 2 y   ,   0

Assim, vem:

V 2 → × V 3 → = det ⁡ u x u y u z V 2 x V 2 y 0 V 3 0 0 = 0,0 , - V 3   V 2 y

Passo 2

Agora, tomemos o segundo produto vetorial:

V 1 → × V 2 → × V 3 → = det ⁡ u x u y u z V 1 x V 1 y V 1 z 0 0 - V 3 V 2 y

Portanto:

V 1 → × V 2 → × V 3 → = - V 1 y V 3 V 2 y ,       V 1 x V 3 V 2 y ,   0

Passo 3

Ou, ainda:

V 1 → × V 2 → × V 3 → = - V 1 y V 3 V 2 y - V 1 x V 3 V 2 x + V 1 x V 3 V 2 x ,       V 1 x V 3 V 2 y ,   0

Perceba que apenas somamos 0 na componente x . Agora, podemos escrever esse produto como:

V 1 → × V 2 → × V 3 → = V 1 x V 2 x V 3 ,       V 1 x V 2 y V 3 ,   0 - V 1 y V 3 V 2 y + V 1 x V 3 V 2 x ,   0 ,   0  

Ou seja:

V 1 → × V 2 → × V 3 → = V 3 V 1 x V 2 x ,   V 2 y ,   0 - V 1 y V 3 V 2 y + V 1 x V 3 V 2 x V 3 ,   0 ,   0  

Reescrevendo esse resultado em termos de produtos escalares, chegamos em:

V 1 → × V 2 → × V 3 → = V 1 → ∙ V 3 →   V 2 → - V 1 → ∙ V 2 →   V 3 →

Como queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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