Prove que, se V e V ' são os módulos das velocidades de uma partícula relativa aos observadores O e O ' , que se movem ao longo do eixo X com velocidade relativa v , então:

1 - V ' 2 / c 2 = 1 - v 2 / c 2 1 - V 2 / c 2 1 - v V x / c 2

E

1 - V 2 / c 2 = 1 - v 2 / c 2 1 - V ' 2 / c 2 1 + v V ' x / c 2

Passo 1

E aí, beleza?? Note que podemos reescrever a expressão acima como:

1 γ V ' = 1 γ v γ V 1 - v V x c 2  

Ou ainda

γ V ' = γ v γ V 1 - v V x c 2

Ou seja, vamos determinar como o fator de Lorentz de uma partícula se transforma de um referencial para o outro.

Considere primeiramente a lei de transformação de Velocidades:

V ' = V x - v 1 - v V x c 2

V ' y = V y γ v 1 - v V x c 2

Passo 2

Então, temos:

V ' 2 = 1 1 - v V x c 2 2 V x - v 2 + 1 - v 2 c 2 V y 2

V ' 2 = 1 1 - v V x c 2 2 V 2 - 2 v V x + v 2 - v 2 c 2 V y 2

Desse modo:

1 - V ' 2 c 2 = 1 1 - v V x c 2 2 1 - 2 v V x c 2 + v 2 c 4 V x 2 - V 2 c 2 + 2 v V x c 2 - v 2 c 2 + v 2 c 4 V y 2

1 - V ' 2 c 2 = 1 1 - v V x c 2 2 1 - V 2 c 2 - v 2 c 2 + v 2 c 4 V 2

Fatorando o lado direito, chegamos em:

1 - V ' 2 c 2 = 1 1 - v V x c 2 2 1 - v 2 c 2 1 - V 2 c 2

Tirando a raiz quadrada:

1 - V ' 2 c 2 = 1 - v 2 c 2 1 - V 2 c 2 1 - v V x c 2

Passo 3

De maneira totalmente análoga, utilizando a transformação:

V x = V ' x + v 1 + v V ' x c 2

V y = V ' y γ v 1 + v V ' x c 2

Podemos chegar à expressão:

1 - V 2 c 2 = 1 - v 2 c 2 1 - V ' 2 c 2 1 + v V ' x c 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro