Prove que a transformação geral para as acelerações, relativas a O e O ' , de uma partícula que se move com velocidade V relativa a O , é:

a ' x = a x 1 - v 2 c 2 3 / 2 1 - v V x c 2

a ' y = 1 - v 2 / c 2 1 - v V x c 2 2   a y + a x v   V y / c 2 1 - v V x c 2

a ' z = 1 - v 2 / c 2 1 - v V x c 2 2   a z + a x v   V z / c 2 1 - v V x c 2

Passo 1

E aí, beleza?? Considerando a transformada de velocidades, temos:

V x ' = V x - v 1 - v V x c 2

Assim, a aceleração fica:

d V x ' d t ' = d d t V x - v 1 - v V x c 2 d t d t ' = d d t V x - v 1 - v V x c 2 1 γ 1 - v V x c 2  

Ou ainda:

a x ' = a x γ 1 - v V x c 2 d d V x V x - v 1 - v V x c 2

Calculando a derivada, temos:

a x ' = a x γ 1 - v V x c 2   1 - v V x c 2 + V x - v ∙ v c 2 1 - v V x c 2 2 = a x γ 1 - v V x c 2 3 1 - v V x c 2 + v V x c 2 - v 2 c 2

Finalmente:

a x ' = a x γ 3 1 - v V x c 2 3

Passo 2

Semelhantemente ao que foi feito para o eixo x , para o eixo y temos:

a y ' = 1 γ 2 1 - v V x c 2 d d t V y 1 - v V x c 2

Portanto:

a y ' = 1 γ 2 1 - v V x c 2 3 d V y d t 1 - v V x c 2 + V y v c 2 d V x d t

a y ' = 1 γ 2 1 - v V x c 2 3 a y 1 - v V x c 2 + V y v c 2 a x

Ou ainda:

a y ' = 1 γ 2 1 - v V x c 2 2 a y + V y v c 2 1 - v V x c 2 a x

Analogamente, para o eixo z :

a z ' = 1 γ 2 1 - v V x c 2 2 a z + V z v c 2 1 - v V x c 2 a x

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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