Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 1c
Prove os três teoremas a seguir:
c) Se é uma função par (isto é, ), então sempre pode ser considerada par ou ímpar.
Dica: Se satisfaz a equação para dada , então também satisfaz, e, portanto, também as combinações lineares pares e ímpares .
Passo 1
Assim, como nos dois itens anteriores, vamos usar essa dica ao nosso favor hehe...
Vamos verificar primeiramente se satisfaz a equação de Schrödinger e, então, prosseguir com o restante da demonstração.
Passo 2
Se fizermos a substituição , note que a derivada não se altera:
Assim, a equação de Schrödinger para fica:
Como , já que o enunciado afirma que o potencial é uma função par, temos:
Ou seja, podemos concluir que é solução da equação diferencial!
Passo 3
Então, podemos definir uma nova solução como uma combinação linear de com , devido ao princípio da superposição! Olha só como fica:
Construindo dessa maneira, ela se torna uma função par! Saca só:
Então...
De maneira análoga, podemos definir . Assim, é uma solução da equação de Schrödinger e, ao mesmo tempo, é uma função ímpar!
Com essas duas funções, e , conseguimos mostrar que a solução da equação de Schrödinger pode sempre ser considerada uma função par ou uma função ímpar! 😊
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)