Um pulso de onda propaga-se ao longo de uma corda com velocidade de 200 cm/s. Qual será sua velocidade se:
a. A tensão da corda for dobrada?
b. A massa da corda for quadruplicada (com seu comprimento mantido inalterado)?
c. O comprimento da corda for quadruplicado (mas sua massa for mantida inalterada)?
Nota: Cada irem é independente dos demais e se refere a alterações feitas na corda original.
Passo 1
Fala galerinha. Tudo tranquilo? Espero que sim.
Nessa questão temos que ver como fica a velocidade de um pulso quando algumas coisas acontecem na corda, lembrando que a velocidade é relacionada por
Sendo a tensão na corda e a densidade da corda.
Passo 2
O primeiro caso é se a tensão for dobrada, ou seja, multiplicada por 2. Vamos fazer sem colocar valores e depois substituir. Vou chamar a nova velocidade de .
Sendo a nova tensão e a nova densidade da corda. Como a densidade da corda não foi alterada, temos
Substituindo isso na equação de temos
A nova tensão é 2 vezes a antiga. Então
Substituindo na equação de
Separando as raízes em duas separadas, temos
Mas temos que
Assim
Agora substituindo os valores
Passo 3
Agora temos que a massa foi quadruplicada, ou seja, multiplicada por 4. Vamos fazer da mesma forma que fizemos o anterior.
Primeiro, vamos achar a diferença na densidade.
Essa é a densidade original da corda. Agora a densidade com a alteração vai ser
Como o comprimento ficou igual, temos que e a massa foi multiplicada por 4, então . Substituindo esses valores na nossa expressão para a densidade com a alteração
Comparando com a densidade original, temos que
Agora voltando a velocidade, temos a original
E a velocidade depois da alteração
Como não temos alteração na tensão da corda e substituindo o valor que achamos para a densidade, temos
Comparando essa velocidade com a velocidade original temos
Substituindo o valor da velocidade original, temos
Passo 4
Para o último caso temos se o comprimento da corda for quadruplicado, ou seja, multiplicado por 4, mantendo a massa constante.
Novamente começamos pela densidade.
Como e temos
Uma vez que
Agora indo para a velocidade, temos
Para a velocidade depois da alteração
Como a tensão não mudou e substituindo o valor de temos
Usando a propriedade de divisão de frações, temos
Dessa forma, nossa velocidade vai ficar
Comparando com a velocidade inicial temos
Substituindo o valor da velocidade, temos
Resposta
Se a tensão dobrar, a nova velocidade será de .
Se a massa quadruplicar, a nova velocidade será de .
Se o comprimento quadruplicar, a nova velocidade será de .
Mais uma feita. Bora pra mais uma?