Um pulso de onda propaga-se ao longo de uma corda com velocidade de 200 cm/s. Qual será sua velocidade se:

a. A tensão da corda for dobrada?

b. A massa da corda for quadruplicada (com seu comprimento mantido inalterado)?

c. O comprimento da corda for quadruplicado (mas sua massa for mantida inalterada)?

Nota: Cada irem é independente dos demais e se refere a alterações feitas na corda original.

Passo 1

Fala galerinha. Tudo tranquilo? Espero que sim.

Nessa questão temos que ver como fica a velocidade de um pulso quando algumas coisas acontecem na corda, lembrando que a velocidade é relacionada por

v = τ μ

Sendo τ a tensão na corda e μ a densidade da corda.

Passo 2

O primeiro caso é se a tensão for dobrada, ou seja, multiplicada por 2. Vamos fazer sem colocar valores e depois substituir. Vou chamar a nova velocidade de v ' .

v ' = τ ' μ '

Sendo τ ' a nova tensão e μ ' a nova densidade da corda. Como a densidade da corda não foi alterada, temos

μ ' = μ

Substituindo isso na equação de v ' temos

v ' = τ ' μ

A nova tensão é 2 vezes a antiga. Então

τ ' = 2 τ

Substituindo na equação de v '

v ' = 2 τ μ

v ' = 2 ∙ τ μ

Separando as raízes em duas separadas, temos

v ' = 2 ∙ τ μ

Mas temos que

v = τ μ

Assim

v ' = 2 ∙ v

Agora substituindo os valores

v ' = 2 ∙ 200 = 282,84 c m / s

Passo 3

Agora temos que a massa foi quadruplicada, ou seja, multiplicada por 4. Vamos fazer da mesma forma que fizemos o anterior.

Primeiro, vamos achar a diferença na densidade.

μ = m L

Essa é a densidade original da corda. Agora a densidade com a alteração vai ser

μ ' = m ' L '

Como o comprimento ficou igual, temos que L ' = L e a massa foi multiplicada por 4, então m ' = 4 m . Substituindo esses valores na nossa expressão para a densidade com a alteração

μ ' = 4 m L

Comparando com a densidade original, temos que

μ ' = 4 μ .

Agora voltando a velocidade, temos a original

v = τ μ

E a velocidade depois da alteração

v ' = τ ' μ '

Como não temos alteração na tensão da corda τ ' = τ e substituindo o valor que achamos para a densidade, temos

v ' = τ 4 μ

Comparando essa velocidade com a velocidade original temos

v ' = v 2

Substituindo o valor da velocidade original, temos

v ' = 200 2 = 100   c m / s

Passo 4

Para o último caso temos se o comprimento da corda for quadruplicado, ou seja, multiplicado por 4, mantendo a massa constante.

Novamente começamos pela densidade.

μ ' = m ' L '

Como m ' = m e L ' = 4 L temos

μ ' = m 4 L = μ 4

Uma vez que

μ = m L

Agora indo para a velocidade, temos

v = τ μ

Para a velocidade depois da alteração

v ' = τ ' μ '

Como a tensão não mudou τ ' = τ e substituindo o valor de μ ' temos

v ' = τ μ 4

Usando a propriedade de divisão de frações, temos

τ μ 4 = τ ∙ 4 μ = 4 τ μ

Dessa forma, nossa velocidade vai ficar

v ' = 4 τ μ

Comparando com a velocidade inicial temos

v ' = 2 v

Substituindo o valor da velocidade, temos

v ' = 2 ∙ 200 = 400   c m / s

Resposta

Se a tensão dobrar, a nova velocidade será de 282,84   c m / s .

Se a massa quadruplicar, a nova velocidade será de 100   c m / s .

Se o comprimento quadruplicar, a nova velocidade será de 400   c m / s .

Mais uma feita. Bora pra mais uma?

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