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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Oscilações, Ondas e Termodinâmica- Ed: 5º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 51

Um pulso se propagando ao longo de uma corda de densidade de massa linear μ é descrita pela função de onda

y = A 0 e - k x s e n k x - ω t

onde o fator entre colchetes é a amplitude. (a) Qual é a potência P ( x ) transportada por essa onda em um ponto x ? (b) Qual é a potência P ( 0 ) transportada por essa onda na origem? (c) Compute a razão P ( x ) / P ( 0 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem??

Vem comigo que no caminho eu explicooo!!

Encoxxtaaa

Primeiramente, devemos notar que a amplitude, entre colchetes, para um determinado valor de x, não depende do tempo. Isso nos mostra que um ponto x do pulso oscila em um movimento harmônico simples (MHS) com frequência angular ω . Conforme o estudo do MHS, sabe-se que a energia mecânica ( E M = E C + E P ) do oscilador tem o mesmo valor da energia potencial no ponto de elongação máxima, ou seja:

E M = k ⋅ A 2 2

O que, para nossa situação, passa a valer

E M = k ⋅ A 0 e - k x 2 2

Passo 2

Ainda do MHS, conhecemos a relação : k = m ⋅ ω 2

Juntando as duas equações acima, chegaremos em:

E M = m ⋅ ω 2 ⋅ A 0 e - k x 2 2 = m ⋅ ω 2 ⋅ A 0 2 ⋅ e - 2 k x 2

Passo 3

Na equação acima, m é o valor da massa do pedacinho da corda localizado no ponto x. Sendo ∆ l o comprimento desse pedaço, já sabemos que μ = m / ∆ l , em que μ é a densidade linear citada no enunciado. Com isso, podemos reescrever a equação acima como

E M = m ⋅ ∆ l ⋅ ω 2 ⋅ A 0 2 ⋅ e - 2 k x 2

O problema pede o cálculo da potência P e não da energia. Conforme a definição de potência, sabemos que P = d E d t , o que para o nosso caso, resulta em

P = μ ⋅ V ⋅ ω 2 ⋅ A 0 2 ⋅ e - 2 k x 2

Na qual usaremos a relação V = ∆ l / ∆ t .

Passo 4

Pela fórmula anterior, todas as variáveis aparecem no enunciado, com exceção da velocidade V. Por isso, precisamos de uma expressão para a velocidade que use as variáveis do enunciado. Novamente recorremos às equações do MHS para recordar que :

V = ω k

Passo 5

  1. Com isso, chegamos à expressão para a potência pedida na questão a

    2. P ( x ) = μ ⋅ ω 3 ⋅ A 0 2 ⋅ e - 2 k x 2 ⋅ k

    Passo 6

  2. Resolveremos a letra b substituindo na expressão o valor de x=0.

    3. P ( 0 ) = μ ⋅ ω 3 ⋅ A 0 2 ⋅ e - 2 k ⋅ 0 2 ⋅ k

    P ( 0 ) = μ ⋅ ω 3 ⋅ A 0 2 2 ⋅ k

    Passo 7

  3. Para a letra c, podemos executar o seguinte cálculo:

P x P 0 = μ ⋅ ω 3 ⋅ A 0 2 ⋅ e - 2 k x 2 ⋅ k μ ⋅ ω 3 ⋅ A 0 2 2 ⋅ k

P x P 0 = μ ⋅ ω 3 ⋅ A 0 2 ⋅ e - 2 k x 2 ⋅ k ⋅ 2 ⋅ k μ ⋅ ω 3 ⋅ A 0 2

P x P 0 = e - 2 k x

Resposta

  1. P ( x ) = μ ⋅ ω 3 ⋅ A 0 2 ⋅ e - 2 k x 2 ⋅ k

  2. P ( 0 ) = μ ⋅ ω 3 ⋅ A 0 2 2 ⋅ k

  3. P x P 0 = e - 2 k x
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