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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 52

Um satélite é colocado numa órbita elíptica a uma altitude acima da superfície da Terra, igual ao raio terrestre, com uma velocidade horizontal inicial igual a 1,2 vezes a velocidade necessária para mantê-lo numa órbita circular àquela altitude. Calcule (a) o momento angular do satélite, (b) sua energia total, (c) a excentricidade de sua órbita, (d) as distâncias máximas e mínimas da superfície terrestre, (e) o semieixo maior de sua órbita e (f) o período de revolução. (Façam = 50   k g .)

Passo 1

E aí, beleza?? Primeiramente, vamos calcular a velocidade da órbita circular em r = 2 R :

m v 2 2 R = G M m 2 R 2 ∴ v = G M 2 R

Portanto, a velocidade inicial é:

v 0 = 1,2   G M 2 R

E o momento angular, portanto:

L = m 2 R v 0 ∴ L = 1,2 m 2 G M R

Passo 2

A energia total fica:

E = 1 2 m v 0 2 - G M m 2 R = 1,2 2 G M m 4 R - G M m 2 R ∴ E = - G M m 7,14   R

Ou seja:

2 a = 7,14 R ∴ a = 3,57   R

Passo 3

Para a máxima distância, podemos conservar o momento angula e a energia:

E = - G M m 7,14 R = 1 2 m v 2 - G M m r

L = m r v = m   2 R   v 0 ∴ v = 2 R v 0 r

Portanto:

- G M 7,14 R = 1 2 4 R 2 1,2 2 G M 2 R 1 r 2 - G M r ∴ r = a 1 ± 1 - 2 ⋅ 1,2 2 R 3,57 R  

Ou seja, para a distância máxima para a superfície terrestre ( h = r - R ) é:

h m a x = 4 , 14 R

Enquanto a mínima é

h m i n = R

Portanto, a excentricidade é dada por:

1 + e 1 - e = 5,14 2 ∴ e = 0,44

Passo 4

Por fim, o período é dado por:

T 2 a 3 = 4 π 2 G M ∴ T = 2 π a 3 G M

Resposta

L = 4,28 × 10 12 m 2 k g / s

E = - 8,71 × 10 8 J

e = 0,44

h m a x = 26 , 37 × 10 6 m

h m i n = 6 , 37 × 10 6 m

a = 22,84 × 10 6 m

T = 3,44 × 10 4 s

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