Enunciado
Física - Luis França - Mecânica Geral- Ed: 2º - Capítulo 6.Exemplo - Ex. 1
Sejam P, Q e M pontos alinhados pertencentes a um sólido. Calcular a velocidade e a aceleração de M em função das velocidades (respectivamente acelerações) dos pontos e respectivas distâncias.
Passo 1
Antes de começar os cálculos, vamos relembrar o que é um versor?
Versor é aquele vetor unitário que tem todos os seus eixos iguais a 1. Por exemplo, em um sistema cartesiano de 3 eixos, teremos que o vetor terá módulo igual a 1 em i, j e k!!
Agora sim, vamos iniciar as resoluções. Como queremos a velocidade e a aceleração do ponto M em relação aos outros pontos, vamos calcular a velocidade e a aceleração de M em relação a P e de Q em relação a P, certo? Fazer isso nos resultará na totalidade em M.
Passo 2
Agora que relembramos os princípios de um versor, vamos começar pela velocidade. Nós sabemos que a velocidade tem como base a divisão da distância andada pelo tempo em que se percorreu essa distância.
Logo, para começar, vamos encontrar a distância, que é dada pelo versor u que definiremos aqui:
u(t)=(Q(t)-P(t))/a=(M(t)-P(t))/b
Como já vimos, o versor apresenta módulo de unidade igual a 1.
O módulo, nada mais é, que a distância percorrida pelo vetor, certo?
Então, como temos que de Q a P a distância é a e de M a P a distância é b, sabemos que, então, Q-P= a e M-P= b.
Desta forma,
, o que confirma nossa ideia de versor.
Passo 3
Agora que encontramos u, vamos aplicar o famoso cálculo, na física.
Quando pensamos na distância que um ponto ou um vetor percorre, ao derivá-lo, encontraremos a velocidade pela qual o mesmo percorreu.
E se derivarmos novamente, estaremos encontrando a aceleração também. 7
Logo, faremos isso com u:
Como
, temos:
Assim, teremos:
E, fazendo as alterações necessárias encontraremos:
Pronto! Encontramos a velocidade!
Passo 4
Agora, derivamos essa expressão encontrada para a velocidade para encontrar a aceleração, que será:
Resolvendo, encontramos:
Pronto!! Encontramos as duas expressões, para velocidade e aceleração.
Resposta
Teremos, em resumo: