Qual seria a voltagem aceleradora dos elétrons em um microscópio eletrônico necessária para que obtenhamos a mesma resolução máxima que pode ser obtida em um “microscópio de raios γ ” usando raios γ de 0,2   M e V ?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Para resolver esse problema você precisa saber que a resolução de microscópio está relacionada com o comprimento da “radiação” usada. Assim, para que o microscópico eletrônico tenha a mesma resolução que o microscópio de fótons (raios γ ), o elétron deve ter o mesmo comprimento de onda do fóton.

Sabemos que a energia E do fóton é dada por

E f o t o n = h ν

Por outro lado, ν = c / λ , de modo que

E f o t o n = h c λ f o t o n

Logo,

λ f o t o n = h c E f o t o n

Usando h c = 1240   e V   n m e E f o t o n = 0,2 ⋅ 10 6   e V , temos

λ f o t o n = 1240   e V   n m 0,2 ⋅ 10 6   e V = 0,0062   n m

Esse é o comprimento de onda do fóton!

Passo 2

No problema 8 obtivemos a relação entre o comprimento de onda e a energia cinética de um elétron:

λ e l e t r o n = h 2 m K

Isolando K , obtemos

K e l e t r o n = 1 2 m h λ e l e t r o n 2 = 1 2 m c 2 h c λ e l e t r o n 2

Para que os microscópios tenham a mesma resolução, devemos ter

λ e l e t r o n = λ f o t o n

Assim,

h c λ e l e t r o n = h c λ f o t o n

Mas como foi visto no passo 1,

h c λ f o t o n = E f o t o n ,

podemos escrever

K e l e t r o n = E f o t o n 2 2 m c 2

Usando m c 2 = 511   k e V e E f o t o n = 0,2   M e V :

K e l e t r o n = 2 ⋅ 10 5   e V 2 2 ⋅ 511 ⋅ 10 3   e V = 3,91 ⋅ 10 4   e V = 39,1   k e V

Isso significa que potencial acelerador deve ser V = 39,1   k V .

Passo 3

Vale destacar que K e l e t r o n = 39,1   k e V corresponde a 7 % da massa de repouso m c 2 = 511   k e V do elétron. Os efeitos relativísticos ainda são pequenos nesse regime, mas é sempre bom tomar cuidado para não fazer besteira e usar uma expressão clássica numa situação relativística!

Resposta

V = 39,1   k V

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