Sete elétrons são confinados em um poço potencial unidimensional infinito de largura L. Qual é a energia do estado fundamental do sistema, em múltiplos de h 2 8 m L 2 ? Suponha que os elétrons não interagem e não se esqueça de levar em conta o spin.

Passo 1

A energia do poço unidimensional em termos de L   e   n é:

E n = h 2 8 m n 2 L 2  

E em cada subcamada podemos alocar dois elétrons, pois cada um pode ter spin ± 1 / 2 . Sendo assim o primeiro valor de energia vai ser E 1 :

E 1 = h 2 8 m L 2 1 2 = h 2 8 m L 2

Então aqui nesse nível ficam alocados dois dos sete elétrons, precisamos de mais níveis.

Passo 2

O próximo nível de energia é com E 2 :

E 2 = h 2 8 m L 2 2 2 = 4 h 2 8 m L 2

Aqui novamente alocamos mais dois elétrons, por causa do spin. Bom, ainda faltam três elétrons. Vamos para mais um nível. O próximo será fazendo E 3 :

E 3 = h 2 8 m L 2 ( 3 2 ) = 9 h 2 8 m L 2

E aqui temos mais dois elétrons alocados. Falta apenas um! E ele vai estar sozinho no nível de energia seguinte.

O próximo nível é quando n = 4

E 4 = h 2 8 m L 2 4 2 = 16 h 2 8 m L 2

Pronto! Aqui alocamos o último elétron! E não importa qual seu spin (se é up ou down), a energia dele não depende do spin, apenas de n .

Passo 3

A energia total doe stado fundamental vai ser a soma das energias individuais de cada elétron em cada nível. Como temos dois elétrons nos três primeiros níveis, a energia de cada um vai ser multiplicada por dois:

E t o t a l = 2 E 1 + 2 E 2 + 2 E 3 + E 4

E t o t a l = 2 1 h 2 8 m L 2 + 4 h 2 8 m L 2 + 9 h 2 8 m L 2   + 16 h 2 8 m L 2

E t o t a l = 2 . 1 + 4 + 9 h 2 8 m L 2 + 16 h 2 8 m L 2

E t o t a l = 44 h 2 8 m L 2

Resposta

44 h 2 8 m L 2

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