Suponha que a matéria (estrelas, gás, poeira) de uma certa galáxia de massa M esteja distribuída uniformemente em uma esfera de raio R . Um estrela de massa m está girando em tomo do centro da galáxia em uma órbita circular de raio rR . Mostre que a velocidade orbital v da estrela é dada por v = r G M / R 3 E que o período de revolução T é dado por T = 2 π R 3 / G M Qualquer que seja o valor de r . Ignore as forças de atrito.Suponha agora que a massa da galáxia está concentrada na região central, no interior de uma esfera de raio menor que r . Qual é a nova expressão do período orbital da estrela?

a ) v = G M r 2 R 3 = r G M R 3 T = 2 π r. 1 r G M R 3 = 2 π R 3 G M b ) T = 2 π r 3 G M

Enunciado

Letra a)

A parte da massa da galáxia que está dentro da órbita da estrela é:

Como a força gravitacional deve ser igual a , então temos:

Mas é dada em termos de e :

E agora tirando a raiz dos dois lados:

O período se relaciona com a velocidade da seguinte forma:

Então:

E substituindo que encontramos no item anterior temos o período:

Letra b)

Agora temos que , sendo assim, do passo 1, a velocidade fica:

E o novo período é: