Enunciado
Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 44.4 - Ex. 44
Suponha que a matéria (estrelas, gás, poeira) de uma certa galáxia de massa esteja distribuída uniformemente em uma esfera de raio . Um estrela de massa está girando em tomo do centro da galáxia em uma órbita circular de raio .
- Mostre que a velocidade orbital da estrela é dada por
- Suponha agora que a massa da galáxia está concentrada na região central, no interior de uma esfera de raio menor que . Qual é a nova expressão do período orbital da estrela?
E que o período de revolução é dado por
Qualquer que seja o valor de . Ignore as forças de atrito.
Passo 1
Letra a)
A parte da massa da galáxia que está dentro da órbita da estrela é:
Como a força gravitacional deve ser igual a , então temos:
Mas é dada em termos de e :
E agora tirando a raiz dos dois lados:
Passo 2
O período se relaciona com a velocidade da seguinte forma:
Então:
E substituindo que encontramos no item anterior temos o período:
Passo 3
Letra b)
Agora temos que , sendo assim, do passo 1, a velocidade fica:
E o novo período é: