Uma taxa de declínio atmosférico teórica. A Seção 16.7 descreveu dados experimentais sobre a diminuição da temperatura com a altitude na atmosfera da Terra. Modele a troposfera como um gás ideal, em todos os lugares com massa molar equivalente M. A absorção da luz do sol na superfície da Terra aquece a troposfera a partir da parte inferior, de modo que as correntes de convecção vertical estão continuamente misturando o ar. À medida que uma parcela de ar sobe, sua pressão cai e ele se expande. A parcela realiza trabalho em sua vizinhança, de modo que sua energia terna e, portanto, sua temperatura caem. Considere que a mistura vertical seja tão rápida de maneira que seja adiabática. (a) Mostre que a quantidade T P ( 1 - γ ) / γ tem valor uniforme nas camadas da troposfera. (b) Mostre, diferenciando em relação à altitude altitude y, que a taxa de declínio atmosférico é dada por

d T d y = T P 1 - 1 γ d P d y

(c) Uma camada inferior de ar deve sustentar o peso das camadas superiores. A partir da Equação 15.4, observe que o equilíbrio mecânico da atmosfera requer que a pressão diminua com a altitude de acordo com d P / d y = - ρ g . A profundidade da troposfera é pequena comparada ao raio da Terra, de modo que você pode considerar que a aceleração de queda livre é uniforme. Prove que a taxa de declínio atmosférico é dada por

d T d y = - 1 - 1 γ M g R

O Problema 16.50 no Capítulo 16 requer um cálculo desta taxa de declínio atmosférico teórico na Terra e em Marte, e pede comparação com os resultados experimentais.

Passo 1

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Se isolarmos o volume na primeira equação e substituirmos na segunda , iremos obter:

V = α 1 γ P - 1 γ

T α γ - 1 γ P 1 - γ γ = b

T P 1 - γ γ = b α γ - 1 γ   ( c o n s t a n t e )

Se supormos que essa relação continue válida para o gás que está se misturando na troposfera, apesar da troca de partículas com o ar, teremos:

T P 1 - γ γ = c   ( c o n s t a n t e )

Passo 2

(b) Se a temperatura e a pressão são funções unicamente da altitude y, podemos derivar a expressão anterior em relação a esta variável:

d d y T P 1 - γ γ = d c d y = 0

Ao aplicarmos a regra do produto, teremos:

d T d y ⋅ P 1 - γ γ + T ⋅ d d y P 1 - γ γ = 0

E a regra da cadeira na segunda derivada:

d T d y ⋅ P 1 - γ γ + T ⋅ 1 - γ γ P 1 - γ γ d P d y = 0

Por fim, ao dividirmos os dois lados por P 1 - γ γ , iremos obter a fórmula que precisamos:

d T d y + T ⋅ 1 - γ γ P - 1 d P d y = 0

d T d y = T P ⋅ 1 - γ γ ⋅ d P d y

Passo 3

(c) Primeiramente, vamos encontrar uma relação da densidade do ar ρ com as variáveis de estado, pressão e temperatura a partir da equação dos gases ideais:

P = n R T V

Ao considerarmos que o número de mols se expressa como n = m / M , temos

P = m V ⋅ R T M = ρ ⋅ R T M

ρ = P M R T

Sendo assim, a taxa de variação de pressão como a altitude fica:

d P d y = - ρ g

d P d y = - P M R T ⋅ g

Por fim, ao substituirmos a expressão anterior na equação obtida em (b), teremos:

d T d y = T P ⋅ 1 - 1 γ ⋅ - P M R T ⋅ g

d T d y = 1 γ - 1 ⋅ M g R

Essa equação diz que a taxa de variação de temperatura com a altitude decresce linearmente.

Resposta

Vide a explicação.

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