Uma taxa de declínio atmosférico teórica. A Seção 16.7 descreveu dados experimentais sobre a diminuição da temperatura com a altitude na atmosfera da Terra. Modele a troposfera como um gás ideal, em todos os lugares com massa molar equivalente M. A absorção da luz do sol na superfície da Terra aquece a troposfera a partir da parte inferior, de modo que as correntes de convecção vertical estão continuamente misturando o ar. À medida que uma parcela de ar sobe, sua pressão cai e ele se expande. A parcela realiza trabalho em sua vizinhança, de modo que sua energia terna e, portanto, sua temperatura caem. Considere que a mistura vertical seja tão rápida de maneira que seja adiabática. (a) Mostre que a quantidade tem valor uniforme nas camadas da troposfera. (b) Mostre, diferenciando em relação à altitude altitude y, que a taxa de declínio atmosférico é dada por
(c) Uma camada inferior de ar deve sustentar o peso das camadas superiores. A partir da Equação 15.4, observe que o equilíbrio mecânico da atmosfera requer que a pressão diminua com a altitude de acordo com . A profundidade da troposfera é pequena comparada ao raio da Terra, de modo que você pode considerar que a aceleração de queda livre é uniforme. Prove que a taxa de declínio atmosférico é dada por
O Problema 16.50 no Capítulo 16 requer um cálculo desta taxa de declínio atmosférico teórico na Terra e em Marte, e pede comparação com os resultados experimentais.
Passo 1
Oi pexuall
Se isolarmos o volume na primeira equação e substituirmos na segunda , iremos obter:
Se supormos que essa relação continue válida para o gás que está se misturando na troposfera, apesar da troca de partículas com o ar, teremos:
Passo 2
(b) Se a temperatura e a pressão são funções unicamente da altitude y, podemos derivar a expressão anterior em relação a esta variável:
Ao aplicarmos a regra do produto, teremos:
E a regra da cadeira na segunda derivada:
Por fim, ao dividirmos os dois lados por , iremos obter a fórmula que precisamos:
Passo 3
(c) Primeiramente, vamos encontrar uma relação da densidade do ar com as variáveis de estado, pressão e temperatura a partir da equação dos gases ideais:
Ao considerarmos que o número de mols se expressa como , temos
Sendo assim, a taxa de variação de pressão como a altitude fica:
Por fim, ao substituirmos a expressão anterior na equação obtida em (b), teremos:
Essa equação diz que a taxa de variação de temperatura com a altitude decresce linearmente.
Resposta
Vide a explicação.