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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 44.4 - Ex. 36

Qual teria que ser a massa do Sol para que Plutão (o planeta mais distante a maior parte do tempo) tivesse a mesma velocidade orbital que Mercúrio (o planeta mais próximo) possui hoje em dia? Use os dados do Apêndice C, expresse a resposta em termos da massa atual do Sol, M s , e suponha que as órbitas dos dois planetas são circulares.

Passo 1

Vamos usar a segunda lei de Newton para Mercúrio:

F = m a

F g r a v = G M s m r M e r c u r i o 2 = m v M e r c u r i o 2 r M e r c u r i o

G M s r M e r c u r i o = v M e r c u r i o 2

Onde M s é a massa do sol

Usamos a equação da aceleração centrípeta, porque o enunciado diz pra gente que as orbitas são circulares.

Fazendo o mesmo para Plutão:

G M s r P l u t ã o = v P l u t ã o 2

Passo 2

Agora fazemos a razão entre as duas equações:

r P l u t ã o r M e r c u r i o = v M e r c u r i o 2 v P l u t ã o 2

Passo 3

Sabemos também que a velocidade de Plutão é igual à velocidade de Mercúrio para uma massa do Sol M s ' , então:

G M s ' r P l u t ã o = v P l u t ã o 2 = v M e r c ú r i o 2

r P l u t ã o = G M s ' v M e r c ú r i o 2

Além disso, sabemos que:

r M e r c ú r i o = G M s v M e r c u r i o 2

Substituindo as duas equações na equação do Passo 2:

M s ' M s = v M e r c u r i o 2 v P l u t ã o 2

Passo 4

A massa nova do Sol então tem que ser:

M s ' = v M e r c u r i o 2 v P l u t ã o 2 M s = 47,9   k m / h 4,74   k m / h 2 M s = 102 M s

Resposta

M s ' = 102 M s

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