Tome como referência o Problema 34.75. Mostre que a ampliação longitudinal m ' para a refração em uma interface esférica é dada por m ' = - n b n a m 2

Enunciado

Bom pessoal, esse é basicamente um problema de matemática. Lá no problema 34.75, o enunciado deu a definição da ampliação longitudinal :

E no caso da interface esférica, a ampliação transversal segue essa fórmula aqui:

Tá, outra fórmula que a gente conhece para a interface esférica, e que relaciona todas essas variáveis, é a seguinte:

Vamos derivar essa fórmula em relação a pra tentar encontrar .

Primeiro vamos reorganizar a equação:

E então, tirando a derivada em relação a :

O último termo só tem constantes, então a derivada dele é nula:

Agora é só aplicar as regras de derivação que a gente conhece:

No termo da esquerda você pode derivar direto pra ficar com :

Já no segundo termo você tem que usar a regra da cadeira, já que a variável é e estamos derivando em relação a :

Beleza, agora vamos isolar :

E esse é exatamente a definição do que colocamos lá no passo :

Agora dê uma olhada na fórmula do :

Bem parecida com que a gente achou para o . Então vamos reescrever em função de :

Então:

Pronto! Demonstramos a fórmula do enunciado.

Demonstração.