Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 34.Problemas - Ex. 76
Tome como referência o Problema 34.75. Mostre que a ampliação longitudinal para a refração em uma interface esférica é dada por
Passo 1
Bom pessoal, esse é basicamente um problema de matemática. Lá no problema 34.75, o enunciado deu a definição da ampliação longitudinal :
E no caso da interface esférica, a ampliação transversal segue essa fórmula aqui:
Tá, outra fórmula que a gente conhece para a interface esférica, e que relaciona todas essas variáveis, é a seguinte:
Vamos derivar essa fórmula em relação a pra tentar encontrar .
Passo 2
Primeiro vamos reorganizar a equação:
E então, tirando a derivada em relação a :
O último termo só tem constantes, então a derivada dele é nula:
Agora é só aplicar as regras de derivação que a gente conhece:
No termo da esquerda você pode derivar direto pra ficar com :
Já no segundo termo você tem que usar a regra da cadeira, já que a variável é e estamos derivando em relação a :
Beleza, agora vamos isolar :
E esse é exatamente a definição do que colocamos lá no passo :
Passo 3
Agora dê uma olhada na fórmula do :
Bem parecida com que a gente achou para o . Então vamos reescrever em função de :
Então:
Pronto! Demonstramos a fórmula do enunciado.
Resposta
Demonstração.