Qual deve ser o índice de refração de uma esfera transparente para que os raios paraxiais provenientes de um objeto no infinito sejam focalizados no vértice da superfície oposta ao ponto de incidência?

O próprio enunciado já disse que a gente tem que supor que os raios estão vindo do infinito, então:

Com isso, a primeira fração da nossa fórmula vai tender a zero:

E como a ideia é formar a imagem do outro lado da esfera, a posição da imagem vai ser igual ao diâmetro dela, então:

Essa é a distância do ponto onde a luz incide até o ponto onde os raios se encontram. Então:

Os índices de refração já estão lá no desenho:

Vamos isolar o índice de refração :

Pronto! Esse tem que ser o índice de refração do vidro se você quiser ter aquela situação que representamos no desenho.