Qual deve ser o índice de refração de uma esfera transparente para que os raios paraxiais provenientes de um objeto no infinito sejam focalizados no vértice da superfície oposta ao ponto de incidência?

Passo 1

Vamos começar com um desenho da situação. A ideia é que os raios paralelos sejam todos focalizados em um ponto, desse jeito aqui:

Aqui não tem segredo, vamos usar essa equação aqui:

n a s + n b s ' = n b - n a R

Passo 2

O próprio enunciado já disse que a gente tem que supor que os raios estão vindo do infinito, então:

s → ∞

Com isso, a primeira fração da nossa fórmula vai tender a zero:

0 + n b 2 R = n b - n a R

E como a ideia é formar a imagem do outro lado da esfera, a posição da imagem vai ser igual ao diâmetro dela, então:

s ' = 2 R

Essa é a distância do ponto onde a luz incide até o ponto onde os raios se encontram. Então:

0 + n b 2 R = n b - n a R

Os índices de refração já estão lá no desenho:

n v i d r o 2 R = n v i d r o - 1,00 R

R n v i d r o = 2 R n v r i d r o - 1,00

Vamos isolar o índice de refração n v i d r o :

n v i d r o R - 2 R = - 2 R

n v i d r o = 2 R R = 2,00

Pronto! Esse tem que ser o índice de refração do vidro se você quiser ter aquela situação que representamos no desenho.

Resposta

O índice de refração do vidro deve ser n v = 2,00 .

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