Enunciado
Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 22.1 - Ex. 73
Um tratamento baseado na mecânica quântica para o átomo de hidrogênio mostra que o elétron no átomo pode ser tratado como uma distribuição espalhada de carga negativa da forma . Aqui, representa a distância ao centro do núcleo e representa o primeiro raio de Bohr, que tem um valor numérico igual a . Lembre-se que o núcleo consiste em apenas um próton e considere esse próton como uma carga puntiforme positiva. (a) Calcule usando o fato que o átomo é neutro. (b) Calcule o campo elétrico a qualquer distância do núcleo.
Passo 1
Eai galera. O segredo dessa questão é a gente identificar uma distribuição esférica não uniforme. Isso ocorre, pois a densidade depende apenas da distância ao centro.
Passo 2
- A carga total da distribuição negativa será:
- O campo elétrico em qualquer região pode ser calculado pelo princípio da superposição:
onde devemos integrar em todo o espaço. Notemos que . Assim,
Para calcular essa integral, façamos a substituição . Assim, , de forma . Logo,
Essa última integral é mais simples de se calcular. Basta integrar por partes:
Novamente, a última integral é calculada por partes:
Finalmente,
Porém, o átomo deve ser neutro. Dessa forma, temos que . Logo,
Passo 3
onde
- é o campo devido ao próton:
- é o campo elétrico devido ao elétron
Podemos calcular a partir da Lei de Gauss. Temos
O cálculo da carga interna é feito do seguinte modo:
Usando a mesma substituição de variáveis que fizemos anteriormente, temos
onde .
Usando o valor de já encontrado, temos
Para calcular essa integral, façamos por partes:
Essa última integral também é calculada por partes:
Ou seja,
A lei de Gauss irá fornecer,
O campo total será simplesmente a soma com .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)