Três espelhos planos interceptam-se em ângulos retos. Um feixe de laser atinge o primeiro deles em um ângulo θ com a normal (Figura 33.39). a) Mostre que, quando esse raio é refletido pelos outros dois espelhos e cruza o raio original, o ângulo entre esses dois raios será α = 180 °   -   2 θ . b) Para que ângulo θ os dois raios serão perpendiculares quando se cruzarem?

Passo 1

a)

Vamos lá! Lembrando que o ângulo incidente é igual ao ângulo refletido, teremos isso:

Daí já podemos tirar algumas relações:

θ + ϕ = 90 °

β + ϕ = 90 °

Essas relações vem da soma dos ângulos internos de um triângulo ser 180 ° , beleza?

Passo 2

Tá, mas e o α ?

Então, vamos olhar para o quadrilátero formado pelos raios. A soma dos ãnguos internos de um quadrilátero é 360 ° . Então;

α + 2 θ + 2 ϕ + 2 β = 360 °

Mas vimos que:

β + ϕ = 90 °

Então:

2 β + 2 ϕ = 180 °

Substituindo...

α + 2 θ + 2 ϕ + 2 β = 360 °

α + 2 θ + 180 ° = 360 °

Agora é só arrumar:

α + 2 θ = 180 °

α = 180 ° - 2 θ

Maravilha!

Passo 3

b) Os raios serão perpendiculares quando α = 90 ° . Usando a relação do ítem anterior:

α = 180 ° - 2 θ

90 ° = 180 ° - 2 θ

θ = 45 °

Resposta

  1. α = 180 ° - 2 θ
  2. θ = 45 °
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