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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 33

Usando as duas primeiras funções de onda normalizadas Ψ 1 x , t e Ψ 2 ( x , t ) para uma partícula se movendo livremente em uma região de comprimento a , mas estritamente confinada a essa região, construa a combinação linear

Ψ x , t = c 1   Ψ 1 x , t + c 2   Ψ 2 x , t

Obtenha então uma relação envolvendo as constantes ajustáveis c 1 e c 2 que, quando satisfeita, garanta que Ψ x , t também está normalizada.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

As funções de onda normalizadas Ψ 1 e Ψ 2 foram obtidas no exemplo 5.10 e no problema 10:

Ψ 1 x , t = 2 a cos ⁡ π x a   e - i E 1 t / ℏ ,               E 1 = π 2 ℏ 2 2 m a 2

Ψ 2 x , t = 2 a s e n   2 π x a   e - i E 2 t / ℏ ,           E 2 = 4 π 2 ℏ 2 2 m a 2

Como Ψ 1 e Ψ 2 já estão normalizadas:

∫ - a / 2 a / 2 Ψ 1 2   d x = ∫ - a / 2 a / 2 Ψ 2 2   d x = 1

Para que Ψ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 também esteja normalizada, devemos ter

∫ - a / 2 a / 2 Ψ 2   d x = 1

Passo 2

Lembre-se que

Ψ 2 = Ψ *   Ψ = c 1 *   Ψ 1 * + c 2 *   Ψ 2 * c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2

Assim,

Ψ 2 = c 1 2 Ψ 1 2 + c 2 2 Ψ 2 2 + c 1 * c 2 Ψ 1 * Ψ 2 + c 1 c 2 * Ψ 1 Ψ 2 *

Tomando a integral:

c 1 2 ∫ - a / 2 a / 2 Ψ 1 2   d x + c 2 2 ∫ - a / 2 a / 2 Ψ 2 2   d x + ∫ - a / 2 a / 2 c 1 * c 2 Ψ 1 * Ψ 2 + c 1 c 2 * Ψ 1 Ψ 2 *   d x = 1

As duas primeiras integrais dão 1 :

c 1 2 + c 2 2 + ∫ - a / 2 a / 2 c 1 * c 2 Ψ 1 * Ψ 2 + c 1 c 2 * Ψ 1 Ψ 2 *   d x = 1

Ou ainda,

c 1 2 + c 2 2 + c 1 * c 2 ∫ - a / 2 a / 2 Ψ 1 * Ψ 2   d x + c 1 c 2 * ∫ - a / 2 a / 2 Ψ 1 Ψ 2 *   d x = 1

É fácil perceber que as duas integrais restantes terão produtos

cos ⁡ π x a   s e n 2 π x a

para serem integrados. Essas integrais serão nulas pois

∫ - a / 2 a / 2 cos ⁡ π x a   s e n 2 π x a   d x = 0

Assim,

c 1 2 + c 2 2 + 0 + 0 = 1

Ou ainda,

c 1 2 + c 2 2 = 1

Resposta

c 1 2 + c 2 2 = 1

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