Enunciado

Vamos examinar os detalhes da frenagem por correntes de Foucault. Uma espira quadrada com lados de comprimento l é atirada, com velocidade v 0 , para dentro de uma região onde existe campo magnético uniforme B. O campo é perpendicular ao plano da espira. A espira tem massa m, resistência R e entra no campo em t =   0 s. Suponha que a espira esteja se movendo para a direita, ao longo do eixo x, e que o campo começa a existir em x =   0   m .

  1. Obtenha uma expressão para a velocidade da espira em função do tempo enquanto ela adentra o campo magnético. Despreze efeito da gravidade e suponha que a borda traseira da espira ainda não entrou na região do campo.
  2. Calcule e desenhe um gráfico de v correspondente ao intervalo 0   s ≤ t ≤   0,04   s para o caso em que v 0 =   10 m s ,     l =   10   c m ,     m =   1,0   g ,   R =   0,0010   Ω   e   B = 0,10   T . A borda traseira da espira não atinge o campo durante esse intervalo de tempo.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Sabemos por definição que:

ε = d ϕ b d t

E que:

d ϕ b = B → ∙ A →

Sendo B ∥ A :

d ϕ b = B A

Assim:

ε = A d B d t + B d A d t

Considerando que o campo eletrico é constante:

ε = B d A d t

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

E então, a corrente é:

I = ε R = 1 R   B d A d t

Fazendo um esboço da situação dada, temos:

Vemos que A = l x → d A = l d x , assim:

I = 1 R B l d x d t

Mas d x d t = v

Assim:

I = B l R v

E com ess corrente podemos achar a força magnética do fio da espira:

F = I l B

F = B l R v l B = B 2 l 2 v R

E pela segunda lei de newton:

F = m a = m d v d t

Assim:

  m d v d t = - B 2 l 2 v R

d v ' v ' = - B 2 l 2 R m   d t '

Integrando de ambos os lados com limites de v 0 ≤ v ' ≤ v e 0 ≤ t ' ≤ t , temos:

v t = v 0 e - b t

Onde b = B 2 l 2 R m

Passo 3

Para b)

Aplicando os valores na equação achada anteriormente:

b = 0.10 T 2 10 × 10 - 2 2 0.0010   Ω 1 × 10 - 3   k g

Concluímos que:

b = 100   s - 1

Assim:

v t = 10   m s e - 100   t

Gerando um gráfico deste modo:

Resposta

Para a)

v t = v 0 e - b t

Onde b = B 2 l 2 R m

Para b)

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