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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 25

Verificou-se experimentalmente que, na colisão frontal de duas esferas sólidas, tais como duas bolas de bilhar, as velocidades depois da colisão são relacionadas com as de antes pela expressão v 1 ' - v 2 ' = - e ⋅ ( v 1 - v 2 ) 2 onde e tem valor entre zero e um, e é chamado coeficiente de restituição. Esse resultado foi descoberto por Newton e tem validade somente aproximada. Ademais, a quantidade de movimento é conservada na colisão. Prove o seguinte: (a) as velocidades depois da colisão são dadas por v 1 ' = v 1 ⋅ ( m 1 - m 2 ⋅ e ) + m 2 ⋅ v 2 ⋅ ( 1 + e ) m 1 + m 2 e v 2 ' = m 1 ⋅ v 1 ⋅ ( 1 + e ) + v e ⋅ ( m 2 - m 1 ⋅ e ) m 1 + m 2 (b) o Q da colisão é - 1 2 ⋅ ( 1 - e 2 ) ⋅ m 1 ⋅ m 2 m 1 + m 2 ⋅ ( v 1 - v 2 ) 2 (c) qual deveria ser o valor ele e para a colisão ser elástica?

Passo 1

  1. Partindo da proposição que nos dão com dado,

    2. v 1 ' - v 2 ' = - e ⋅ ( v 1 - v 2 ) 2 …………………………….(1)

    Multiplicando (1) por m 2

    m 2 ⋅ v 1 ' - m 2 ⋅ v 2 ' = - e ⋅ m 2 ⋅ ( v 1 - v 2 ) 2 ………..(2)

    Pela conservação do momento temos

    m 2 ⋅ v 2 ' = m 1 ⋅ v 1 + m 2 ⋅ v 2 - m 1 ⋅ v 1 ' …………..(3)

    Substituindo (3) em (2) e tendo em conta o valor de v 1 '

    v 2 ' = m 1 ⋅ v 1 ⋅ ( 1 + e ) + v 2 ⋅ ( m 2 - m 1 ⋅ e ) m 1 + m 2

    Passo 2

  2. já sabemos que Q = 1 2 ⋅ m 1 ⋅ ( v 1 ' 2 - v 1 2 ) + 1 2 ⋅ m 2 ⋅ ( v 2 ' 2 - v 2 2 )

    3. Aceitando os valores já demonstrados para v 1 ' e v 2 ' temos

    v 1 ' + v 1 = v 1 2 ⋅ m 1 + m 2 ⋅ ( 1 - e ) + v 2 ⋅ m 2 ⋅ ( 1 + e ) ( m 1 + m 2 ) ……………….(4)

    v 1 ' - v 1 = m 2 ⋅ ( 1 + e ) ⋅ ( v 2 - v 1 ) ( m 1 + m 2 ) ………………………………...(5)

    De modo igual

    v 2 ' + v 2 = v 1 ⋅ m 1 ⋅ ( 1 + e ) + v 2 2 ⋅ m 2 + m 1 ⋅ ( 1 - e ) ( m 1 + m 2 ) ………………..(6)

    v 2 ' - v 2 = m 1 ⋅ ( 1 + e ) ⋅ ( v 1 - v 2 ) ( m 1 + m 2 ) …………………………………(7)

    Substituindo os valores de (4), (5), (6) e (7) no valor de Q e simplificando temos

    Q = - m 1 ⋅ m 2 ⋅ ( 1 - e 2 ) ⋅ ( v 1 - v 2 ) 2 2 ⋅ ( m 1 + m 2 )

    Passo 3

  3. Para colisão elástica, Q = 0

Portanto, 1 - e 2 = 0

e = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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