Verifique a autofunção e o autovalor do estado n = 2 de um oscilador harmónico simples por meio de substituição direta na equação de Schroedinger independente do tempo, como no exemplo 6-7.

O autovalor para o estado de uma partícula de massa usando um potencial simples harmônico de constante de força efetiva é

Aqui, é a constante de Planck reduzida

O estado de uma função de onda por um potencial simples harmônico é

E

Aqui, é a é a amplitude da onda.

A equação de tempo independente de Schrodinger para um potencial simples harmônico é

Para verificar que as equações são válidas. Usamos a regra da cadeira para derivar as funções de onda com respeito a , e simplificando

Então pegamos a segunda derivada:

E coletando e rearranjando

Então o fator polinomial, e rearranjando

O termo entre colchetes é o mesmo da equação obtida no passo 1 ()

Então escrevemos isso em termos de substituindo as expressões para

Agora que a gente sabe a segunda derivada da função de onda, substituímos

Simplificando e coletando os termos iguais

Trazendo o para a raíz no lado esquerdo e simplificando

Já que os dois lados são iguais, confirmamos que essa é a solução.