Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 25
Verifique o princípio da incerteza para a função de onda na Equação . Dica: calcular é complicado, pois a derivada de tem uma descontinuidade em . Use o resultado no Problema . Resposta parcial: .
Passo 1
Fala aí, beleza? No Problema já nos deparamos com esse potencial, mas agora temos conhecimento que ele se refere ao estado ligado de uma partícula sujeita a um potencial delta de Dirac. Assim, vamos calcular os valores esperados da posição, do momento e do quadrado dessas grandezas.
Para o valor esperado da posição, temos:
Note que o integrando é uma função ímpar, logo . Consequentemente, como já vimos em várias questões, .
Passo 2
Vamos agora para a posição quadrática:
Agora, como o integrando é uma função par, podemos escrever a integral como:
Essa integral pode ser resolvida por partes, de modo que ficamos com:
Portanto, a incerteza associada à posição é:
Passo 3
Agora vamos calcular o valor esperado do momento quadrático. Vamos analisar as derivadas da função de onda:
Seguindo a dica do enunciado, podemos escrever essa derivada como:
Note que escrever a derivada em termos da função degrau permite que contemplemos todos os valores da derivada em uma só expressão. Desse modo, tomando a derivada segunda e lembrando da relação entre a derivada da função degrau com a função delta de Dirac, vem:
Perceba que os termos e ao serem somados, podem ser simplificados como:
Sabemos também que e, além disso, . Assim, aplicando também essas duas relações, podemos simplificar a expressão para:
Com isso o valor esperado de fica:
Portanto, substituindo os resultados obtidos:
Quebrando em duas integrais, chegamos em:
Portanto:
E, por fim, a incerteza no momento fica:
Passo 4
Por fim, o produto entre as incertezas fica:
Logo, o princípio da incerteza é respeitado!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)