Fórmula do Centro de Massa

O Centro de Massa, corresponde a um ponto onde podemos teoricamente concentrar toda a massa do material, com muita utilização prática facilitando a resolução de problemas e em problemas bidimensionais podemos calcular o centro de massa em relação ao eixo x e y através das seguintes fórmulas:

$$x_{CM}=\frac{1}{m_T}\times \sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i$$

$$y_{CM}=\frac{1}{m_T}\times \sum _{i=1}^n{m}_i{y}_i$$

Essas expressões de $x_{CM}e{y}_{CM}$ são o calculo de uma média ponderada, com o objetivo de encontrarmos o ponto $\left(x_{CM},y_{CM}\right)$ onde poderemos concentrar toda a massa do nosso objeto. $m_T$ é a massa total, ou seja, $m_1+m_2+\dots +m_n$.

É importante dizer que caso o problema possua 3 dimensões surgirá uma nova expressão similar as expressões a cima envolvendo o eixo $z$, e será encontrado $z_{CM}$.

Para que serve?

O Centro de Massa serve como um artificio auxiliar na hora de trabalharmos com problemas que envolvem objetos que tem massas pontuais em diferentes locais. Imagine duas bolas de boliche conectadas por uma haste de ferro com peso desprezível. Para resolver problemas que possuam elementos como esse podemos usar o centro de massa para localizar um ponto onde podemos concentrar todas as forças que atuam no problema. Bora fazer um exemplo para deixar tudo mais claro!

Imagine a seguinte situação, um objeto triangular possui em suas extremidades pesos conforme a figura abaixo:

Calcule o centro de massa do objeto.

Vamos utilizar as duas expressões sobre o centro de massa para descobrir $x_{CM}e{y}_{CM}$:

$$x_{CM}=\frac{1}{m_1+m_2+m_3}\times \left(m_1.x_1+m_2.x_2+m_3.x_3\right)$$

$$x_{CM}=\frac{1}{10}\times \left(2\times 0+3\times 1+5\times 4\right)$$

$$x_{CM}=\frac{23}{10}=\mathrm{2,3}cm$$

$$y_{CM}=\frac{1}{m_1+m_2+m_3}\times \left(m_1.y_1+m_2.y_2+m_3.y_3\right)$$

$$y_{CM}=\frac{1}{10}\times \left(2\times 0+3\times 2+5\times 1\right)$$

$$y_{CM}=\frac{11}{10}=\mathrm{1,1}cm$$

Logo o centro de massa fica no ponto $(\mathrm{2,3};\mathrm{1,1})cm$.