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Provas Fundamentos Matemáticos da Física B de Cálculo 3 da UnB - 2022.2

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Cálculo 3 - UnB

Considere um tensor T dado por:

T = 0 1 0 0 0 1 4 - 17 8

a ) Encontre os autovalores de T .

b ) Encontre os autovetores de T .

c ) Será T diagonalizável? Em caso positivo, escreve a forma diagonal de T .

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Considere a equação de Laplace ∇ 2 V r → = 0 em coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0 .  

a ) Supondo que a solução V r , θ , z seja separável, na forma V r , θ , z = R r Q θ Z z , mostre que a equação de Laplace pode ser escrita como:

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - 1 Z d 2 Z d z 2    

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Considere a equação de Laplace ∇ 2 V r → = 0 em coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0 .  

b ) Mostre que se utilizarmos a constante de separação - k 2 , obtemos as seguintes equações:

d 2 Z d z 2 - k 2 Z = 0 ,

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - k 2

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Considere a equação de Laplace ∇ 2 V r → = 0 em coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0 .  

c ) Mostre que se considerarmos a constante de separação - v 2 na equação:

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - k 2

obtemos as equações:

d 2 Q d θ 2 + v 2 Q = 0 ,

r 2 d 2 R d r 2 + d R d r + k 2 r 2 - v 2 R = 0

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Considere a equação de Laplace ∇ 2 V r → = 0 em coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0 .  

d ) Mostre que se definirmos x = k r , obtemos que a equação:

r 2 d 2 R d r 2 + d R d r + k 2 r 2 - v 2 R = 0

pode ser reescrita como:

x 2 d 2 R d x 2 + x d R d x + x 2 - v 2 R = 0  

que é a equação de Bessel de ordem v .

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