UNB, Sem Campus, Cálculo 3, Provas Fundamentos Matemáticos da Física B - 2022.2, Questão 4c
Considere a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas:
Mostre que se considerarmos a constante de separação na equação:
obtemos as equações:
Passo 1
Oiee galerinha, tudo bom com vocês?
Nessa questão temos a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas:
Ela é bem feinha, mas usando que o volume é separável em:
chegamos no item anterior que:
A partir dessa equação precisamos mostrar que se a constante de separação é , temos as seguintes equações:
A ideia aqui é entender o que é essa constante de separação. Como no item anterior chegamos numa igualdade entre funções de variáveis distintas, concluímos que essas funções são constantes.
A constante que se iguala a essas funções é justamente a constante de separação.
Sacaram? Vamo nessa!
Passo 2
Bom, vamos partir da equação que encontramos no item anterior até chegar em uma igualdade entre funções que só se explica com ambas sendo iguais a uma constante de separação.
Temos que:
Multiplicando ambos os lados por , vem que:
Daí, manipulando um pouco:
Olha que legal! O lado esquerdo depende apenas de e o lado direito depende apenas de . Assim, como ambos são sempre iguais, essas relações precisam ser constantes. Ou seja:
Daí vem que:
Logo:
que é justamente a primeira equação que queríamos chegar.
Passo 3
Por outro lado, temos:
Daí, multiplicando em ambos os lados por :
Logo:
Resolvendo essas derivadas, temos:
Substituindo:
Portanto, juntando tudo na equação:
Que é justamente a outra equação que queríamos chegar!
Prontinho pessoal! É isso aí!
Muito obrigado pela atenção e até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto.