O que está acontecendo?

O carregamento na barra de aço devido ao seu peso próprio gera nela uma força interna normal que varia em função do ponto que está sendo avaliado na barra:

Onde é o carregamento distribuído na barra e é o comprimento inicial da barra.

A barra ainda tem um módulo de elasticidade e uma área de seção transversal .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é a variação de comprimento causada pelo carregamento na barra.

A gente sabe que essa variação de comprimento é normalmente dada pela fórmula:

Mas a força normal na nossa barra varia ao longo do comprimento da barra.

Então vamos ter que recorrer à fórmula:

Como no nosso caso, o módulo de elasticidade e a área de seção transversal da barra são constantes, essa fórmula vai ficar assim:

Substituindo os valores de , , e nessa fórmula, vamos conseguir calcular !

Para que a gente já possa calcular e se livrar da integral, vamos começar substituindo .

Fazendo essa substituição na fórmula, temos:

Podemos colocar o termo constante que multiplica toda a expressão do lado de fora da integral.

Fazendo isso, temos:

Agora temos que nos lembrar de como se faz uma integral. 😖

Lembra aí...

Para fazer a integral de um polinômio, a gente dá um expoente para em cada termo, aumenta em cada expoente e divide cada termo pelo novo expoente:

Então a nossa integral vai ficar assim:

O que significa que:

O primeiro termo vai dar enquanto que o segundo vai dar , então:

Com isso, a nossa expressão para fica assim:

Finalmente, substituindo os valores de , , e , vamos ter que:

Reescrevendo como e expandindo o , temos:

Cortando com , com e com , vemos que o nosso resultado vai sair em metros:

Calculando tudo, encontramos:

Como esse número é bem pequeno, podemos reescrevê-lo em na hora de dar a resposta:

O que está acontecendo?

A coluna tem um comprimento inicial e uma seção transversal circular de raio .

O exercício diz que a coluna possui uma densidade (mega-gramas por metro cúbico), então ele quer que a gente considere o peso próprio da coluna.

O peso próprio total da coluna é igual a sua massa vezes a gravidade :

Mas a massa da coluna é igual a sua densidade vezes o seu volume , ainda

E o volume da coluna é igual à sua área de seção transversal vezes o seu comprimento :

Beleza...

Mas sabemos que na verdade, o peso da coluna não é uma força pontual , e sim uma carga distribuída uniformemente ao longo de todo o comprimento da coluna.

Chamando essa carga distribuída de , vamos ter que:

Então tá... e o que é que isso significa?

Isso significa que se a gente fizer o diagrama de corpo livre da coluna, vamos ter:

• A força de compressão ;
• Uma força de reação do solo;
• E, também, uma carga distribuída de peso próprio .

Desenhando a carga distribuída de uma outra cor, para que a gente possa diferenciar ela das forças pontuais e , o diagrama fica assim:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente encontre uma expressão que fornece a tensão normal média dependendo do ponto da coluna que estiver sendo avaliado.

Para calcular essa tensão , vamos precisar da força interna normal , que vamos encontrar através de uma análise dos esforços internos na barra.

Antes de fazer essa análise, temos que aplicar as condições de equilíbrio na barra para que a gente possa descobrir o valor da reação desconhecida.

Observação: Vamos assumir que .

Então vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre da coluna:

Com isso, podemos aplicar as condições de equilíbrio nela.

Aqui, só vamos ter disponível o equilíbrio de forças na vertical:

Fazendo esse somatório de forças, vamos ter a reação para cima, a força para baixo e a força equivalente à carga distribuída para baixo.

Essa força equivalente vai ser igual à distribuição uniforme vezes o comprimento em que ela atua.

Então o somatório de forças fica assim:

Isolando , encontramos que:

Vamos guardar esse valor para depois!

Agora, para encontrar a força interna normal na coluna, vamos fazer uma análise de esforços internos nela.

Secionando a coluna em uma seção genérica com uma posição , que pode variar entre e , vamos ter o desenho abaixo:

Para determinar , usamos o equilíbrio de forças na vertical:

Nesse caso, temos as forças e para cima e a força equivalente a carga distribuída para baixo.

Como é uniforme e atua ao longo de um comprimento , essa força equivalente vai ser igual à .

Sendo assim, o somatório de forças acima fica assim:

Isolando , encontramos que:

Mas no final do passo anterior guardamos a Equação 1 que diz que , então temos que:

Fazendo a distributiva do sinal de negativo, isso fica assim:

E, finalmente, colocando em evidência, encontramos que:

Encontrada uma expressão para a força normal , já podemos determinar a tensão normal média na coluna:

Substituindo a expressão encontrada para , temos:

Lá no Passo 1, vimos que .

Substituindo isso, temos que:

Realizando a divisão por , isso fica assim:

Como a seção transversal da coluna é circular de raio , a sua área pode ser calculada pela fórmula .

Fazendo essa substituição e fazendo a distributiva na multiplicação , temos:

E, finalmente, arrumando tudo, encontramos que:

Agora, só falta substituir os valores...

• ;
• ;
• ;
• ;
• & ,

...na expressão que acabamos de encontrar para que a gente possa determinar .

Mas antes disso, vamos prestar atenção nas unidades das nossas variáveis:

Primeiro, a força está em e o raio está em , então o termo vai sair em que é o mesmo que .

Além disso, a densidade está em e a gravidade está em .

Dessa forma, os termos vão sair em:

Como é o mesmo que , isso pode ser reescrito assim:

Além disso, é o mesmo que , então essas unidades equivalem à:

E, por fim, é o mesmo que .

Ou seja, os termos vão sair em .

Quando esses termos forem multiplicados por ou por , que são dados em , o resultado de tensão vai sair em . 👈

Então para padronizar tudo, vamos reescrever o raio como .

Com isso, o termo também vai sair em . 👍

Passo 6

Então...

Vamos pegar a expressão que encontramos para a tensão :

E substituir nela os valores:

• ;
• (!);
• ;
• ;
• & .

Fazendo isso e calculando tudo, encontramos que:

Como pode variar entre e , essa tensão sigma vai ser sempre negativa, já que o termo nunca vai ser maior que .

Então podemos arrumar a nossa resposta para deixar claro que essa tensão será negativa (ou seja, que ela será uma tensão de compressão):

E assim terminamos o exercício!

O que está acontecendo?

O poste tem um comprimento inicial , uma seção transversal circular de diâmetro e um módulo de elasticidade .

Ele está sob uma carga e é sustentado por uma força em sua parte inferior e pela força de atrito linearmente distribuída , como mostra o seu diagrama de corpo livre:

E o que é que o exercício quer?

Primeiro, ele quer que a gente descubra o valor da força na parte inferior do poste.

Para encontrar , vamos ter que calcular uma força equivalente à carga linearmente distribuída para, em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de forças no poste.

Em seguida, ele quer que a gente calcule o deslocamento da parte superior do poste em relação à parte inferior .

Ou seja, ele quer saber a variação de comprimento sofrida pelo poste.

Como temos uma força distribuída, essa variação de comprimento vai ter que ser calculada pela fórmula:

No nosso caso:

• O módulo de elasticidade e a área de seção transversal ;
• E o carregamento no poste, e, consequentemente, a força interna normal no poste, variam em função da coordenada , e não da coordenada .

Dessa forma, a fórmula para vai ficar assim:

Agora, antes de usar essa fórmula, vamos ter que fazer uma análise dos esforços internos no poste para encontrarmos uma expressão para a força normal .

E, antes disso, vamos ter que formular uma expressão para a carga distribuída .

Vamos começar pela primeira parte do exercício: calcular a força .

Para tanto, fazemos um diagrama de corpo livre no poste:

E aplicamos as condições de equilíbrio nele.

Nesse caso, podemos aplicar o equilíbrio de forças na vertical:

Para fazer esse somatório de forças, precisamos definir uma força equivalente à carga distribuída .

O jeito mais fácil de fazer isso é observar que varia linearmente entre e , de tal forma que o seu valor médio é .

Esse valor médio distribuído ao longo do poste de comprimento , vai resultar em uma força resultado .

Sendo assim, o somatório de forças acima fica assim:

Como queremos saber o valor de , vamos isolá-lo:

Substituindo , e , encontramos que:

Agora seguimos para a segunda parte: calcular a variação de comprimento causada no poste pelas cargas que atuam nele.

Antes de usar a fórmula de , temos que formular expressões que para a carga distribuída e para a força normal variável na coluna.

Então vamos pensar...

Sabemos que varia linearmente. Então podemos formular em função de assim:

Agora...

Quando , é igual à , ou seja:

O que significa que:

Por outro lado....

Quando , é igual à , ou seja:

Substituindo e isolando , encontramos que:

Dessa forma, temos que em função de pode ser formulado assim:

Em seguida, para encontrarmos uma fórmula para a força normal variável , precisamos fazer uma análise de esforços internos no poste.

Secionando o poste em uma seção genérica com uma posição , o desenho da análise de esforços internos fica assim:

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, vamos ter:

Para fazer esse somatório, precisamos definir uma força equivalente à carga distribuída nesse trecho da peça.

Então vamos pensar...

Nesse trecho, começa igual à e varia linearmente até seu valor máximo no ponto .

Como vimos no passo anterior, no ponto vai ser dado pela fórmula:

Então o valor médio de no trecho que estamos estudando vai ser a metade disso:

Esse valor médio distribuído ao longo de um trecho de comprimento vai resultar em uma força equivalente:

Sabendo disso, conseguimos fazer nosso somatório de forças, que fica assim:

Queremos encontrar a força normal em função de (“”), então devemos isolá-la:

Agora que conhecemos , podemos aplicar a fórmula:

Primeiro, podemos tirar para o lado de fora da integral as constantes e :

Além disso, sabemos que a área da seção transversal circular de diâmetro do poste pode ser dada pela fórmula .

Dessa forma, temos que:

Arrumando tudo, essa expressão fica assim:

Feito isso, vamos focar agora em calcular a integral, que vamos chamar de :

Substituindo a expressão encontrada para , ficamos com a integral de um polinômio:

Então lembra aí!

A integral desse polinômio vai ficar assim:

Fazendo a diferença entre os valores nos extremos, temos:

O segundo termo vai ser nulo, então só vai sobrar:

Substituindo e , vamos encontrar que:

E pronto!

Agora podemos voltar na variação de comprimento :

E substituir o valor da integral:

Substituindo e , as unidades e vão se cortar.

Com isso, nosso resultado para vai sair na unidade que sobra, que é metros ().

Fazendo essas substituições e calculando tudo, encontramos:

Como esse número é muito pequeno, podemos reescrevê-lo em :

E assim terminamos a segunda e última parte do exercício.

O que está acontecendo?

A tira de alumínio é composta por três segmentos e possui um módulo de elasticidade .

Um segmento, central, possui uma área de seção transversal e um comprimento inicial .

Os outros dois segmentos, laterais, possuem um comprimento inicial e uma área de seção transversal variável :

Além de tudo isso, por causa da força axial de tração de , vai haver ao longo de toda essa tira de alumínio uma força interna normal constante .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o alongamento, ou seja, a variação de comprimento da tira de alumínio devido à carga aplicada de .

Essa variação de comprimento da tira vai ser a soma das variações de comprimento do segmento central e dos segmentos laterais:

E como é que a gente pode calcular essas variações de comprimento?

Para o trecho central que possui uma área de seção transversal constante, vamos calcular a sua variação de comprimento usando a fórmula .

Já para os dois trechos laterais, a área de seção transversal varia. Então vamos ter que usar a fórmula:

No caso dos nossos trechos laterais:

• A força interna normal e o módulo de elasticidade são constantes;
• A área de seção transversal é chamada de ;
• E o comprimento é chamado de .

Então essa fórmula fica assim:

Agora, antes de usarmos essa fórmula, precisamos formular uma expressão para a área variável .

Então vamos começar o exercício tentando formular uma expressão para .

Se formos observar a geometria dos segmentos laterais, vamos ver que eles têm:

• Uma largura fixa ;
• E uma altura que varia linearmente de no ponto inicial à no ponto final.

A figura abaixo mostra isso visualmente:

Então vamos chamar essa altura variável de .

Se ela varia linearmente em função de , então ela pode ser expressa pela fórmula:

Por um lado, sabemos que quando , essa altura é igual à .

Ou seja:

Assim, descobrimos que:

Por outro lado, sabemos que quando , a altura é igual à .

Ou seja:

Substituindo e isolando , encontramos que:

O que significa que:

Substituindo , encontramos que:

Sendo assim, podemos descrever a altura assim:

Sabendo que e que !

Agora, a área de uma seção transversal dos segmentos laterais da tira é a multiplicação dessa altura variável pela largura da peça.

Então pode ser descrita em função de assim:

Agora que temos uma fórmula para em função de , já podemos calcular a variação de comprimento nos segmentos laterais da tira:

Primeiro, substituímos a expressão encontrada para :

Em seguida, podemos tirar as constantes , e para o lado de fora da integral:

Com isso, vamos focar na resolução da integral, que vamos chamar de :

É, olhando para essa integral já dá para ver que ela não é tão fácil...

Mas vamos lá, você aguenta:

Faz tempo que eu não vejo cálculo, mas o meu instinto é de fazer uma substituição.

Então vamos tentar isso.

Vamos dizer que .

Derivando em relação a , vamos ter que:

O que significa que:

Beleza, então vamos olhar para o que está dentro da nossa integral:

Substituindo , fica assim:

Depois, multiplicamos em cima e em baixo por :

Com isso, podemos substituir :

Agora, podemos atualizar a nossa integral com essa substituição, tendo o cuidado de também atualizar os intervalos da integral:

Arrumando tudo e colocando a constante para fora, a nossa integral fica assim:

E olha só, integral de a gente sabe que dá , então temos que:

Fazendo a diferença entre os valores nos extremos, temos:

Mas lembra aí!

Existe uma propriedade dos logaritmos que diz que .

Aplicando essa propriedade, o resultado da nossa integral fica assim:

E pronto, está resolvida a integral!

Beleza, então vamos voltar na expressão que tínhamos encontrado para :

E substituir o valor que encontramos para a integral:

Substituindo nessa expressão:

• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• & ,

Vamos encontrar que: