Deslocamento em Estruturas Isostáticas – Revisão de Trabalhos Virtuais

Produzido por Pablo Ricardo
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Teoria

Porque estruturas isostáticas?

Você pode estar se perguntando: por que o primeiro tópico de estruturas hiperestáticas é exatamente estruturas isostáticas?

É bem importante entendermos o funcionamento das estruturas isostáticas antes de partirmos para as hiperestáticas, pois todo o conceito de hiperestaticidade vai girar entorno de resolver vários arranjos isostáticos.Por isso vale nos preocuparmos com isso logo de início, mas agora chega de ladainha e vamos partir para o que interessa...

O principio dos trabalhos virtuais em estruturas isostáticas.

Imagine a seguinte situação:

Temos na figura acima um pórtico sujeito a diversos tipos de carregamentos e queremos saber como o ponto A do nosso pórtico irá se comportar. Sabemos que analisar o ponto A como todos os carregamentos (1,2,3) de maneira direta seria muito complicado, então usamos um artificio de analise virtual. Imagine que ao invés de usar todas essas cargas, eu pudesse dizer o seguinte:

Suponha que eu queira saber o deslocamento horizontal de A... nesse caso imagine que eu pudesse representar todas as minhas forças da primeira figura em uma única força que atue na direção do deslocamento que eu queira conhecer, e que, nesse caso, eu estou garantindo que o carregamento P ¯ = 1 (ou seja, unitário) produz na estrutura o mesmo deslocamento que todas as cargas da figura anterior. Ou seja, o carregamento unitário VIRTUAL horizontal que age em A produz o mesmo deslocamento horizontal que as Cargas REAIS ( P 1 , P 2 , P 3 ).

E isso é bem importante, se eu quiser saber o deslocamento vertical em A, eu coloco uma carga unitária na direção vertical, e pode ser pra cima ou pra baixo, o sinal do seu deslocamento é quem vai te dizer qual o certo.

Por exemplo, se você colocar uma carga unitária vertical pra cima, e quando calcular o seu deslocamento ele der negativo, significa que ele se moveu pra baixo, que é o sentido contrario do que você colocou a carga. Se der positivo, se deslocou no mesmo sentido do carregamento unitário.

E se quiser saber a rotação em A, aplico um momento unitário nesse ponto.

Beleza, sabendo disso, o que eu preciso fazer agora é entender como isso funciona na ideia de trabalho virtual.

Trabalho externo e interno

Sabemos que os carregamentos externos e internos irão produzir energia, e como nosso objetivo é sempre equilibrar as coisas, temos que garantir que haja equilíbrio entre as parcelas de trabalho interno e de trabalho externo.

Eu poderia passar aqui um tempão desenvolvendo a fórmula pra vocês, ou eu posso simplesmente ensinar pra vocês um macete sagaz... obvio que vou ficar com a segunda opção hehehe

O macete sagaz é o seguinte:

  • Como vimos, analisar o deslocamento na estrutura com a carga virtual, é bem mais simples, logo, é mais fácil determinar o trabalho virtual externo nessa estrutura, dessa maneira temos que:
  • W e x t =   P   ¯ .   δ

  • Para calcular o trabalho interno, existe uma fórmula de resistência dos materiais que nos auxilia, que a sua forma final é dada por:
  • W i n t =   ∫   M   ¯ . M E J   d s +   ∫   N   ¯ . N E S   d s +   ∫ x   Q   ¯ . Q G S   d s +   ∫   T   ¯ . T G J t   d s

    Meu deus do céu, que diabo de fórmula é essa? Fica tranquilo que vou explicar cada termo dela.

    Mas antes lembra que para termos equilíbrio, basta igualarmos as duas fórmulas, e com isso temos que:

    P   ¯ .   δ =   ∫   M   ¯ . M E J   d s +   ∫   N   ¯ . N E S   d s +   ∫ x   Q   ¯ . Q G S   d s +   ∫   T   ¯ . T G J t   d s

    Trabalho interno

    Pra tudo ficar bem claro, a gente tem que entender o seguinte: para fazer uma comparação que vai explodir a sua cabeça, lembra do conceito de vetor unitário da física.

    O que é um vetor unitário? Nada mais é que um vetor de tamanho 1 que representa o que acontece com um vetor maior, por exemplo, se eu escrever.

    V → = 20   x ^

    Significa que eu tenho um vetor de tamanho 20 que está na direção X. ou seja, o vetor unitário não modifica o vetor 20, só da um sentido e uma direção pra ele, e como ele é unitário, tudo que eu multiplicar por ele, não é alterado.

    Acho que você já pegou a ideia né? É exatamente isso que temos na nossa fórmula. Todos os termos com uma barra em cima (   M   ¯ ,     N   ¯ e   Q   ¯ ) são “tipo” um vetor unitário, eles só vão nós auxiliar no cálculo. Os outros termos sem barra são os valores com os carregamentos reais na estrutura, que, no nosso exemplo, seria o valor 20.

    Ou seja, todos os valores com barras em cima são uma espécie de vetor unitário, e todos os valores sem barra são os reais, como o 20 do nosso exemplo. Entendido isso, eu tenho uma novidade ainda melhor pra você. Dificilmente usamos essa fórmula com seu tamanho total. Quer ver como usar ela? Então segue o bonde.

    Como usar cada termo?

    Vamos começar pelo que parece mais difícil.

  • trabalho devido a esforço cortante
  • ∫ x   Q   ¯ . Q G S   d s

    Essa fórmula pode ser desprezada, porque a contribuição dela para os deslocamentos é praticamente zero (e basicamente nunca usamos ela nos nossos problemas). Pode falar que você já ficou feliz de saber isso né? Só pra você não ficar com a pulga atrás da orelha, vamos ver o que significa cada termo.

    x = c o e f i c i e n t e   r e d u t o r   q u e   v a r i a   c o m   a   s e ç ã o

      Q   ¯ = c o r t a n t e   n a   e s t r u t u r a   d e v i d o   a   c a r g a   v i r t u a l   u n i t a r i a  

    Q = c o r t a n t e   n a   e s t r u t u r a   d e v i d o   a   c a r g a s   R e a i s  

    G = m ó d u l o   d e   e l a s t i c i d a d e   t r a n s v e r s a l  

    S = á r e a   d a   s e ç ã o

  • trabalho devido a esforço torsor
  •   ∫   T   ¯ . T G J t   d s

    Essa fórmula é bem específica, e ela basicamente só é usada em problemas de grelhas tridimensionais, ou em estruturas com ação de torque. Cada termo da nossa fórmula significa:

      T   ¯ = t o r q u e   n a   e s t r u t u r a   d e v i d o   a   c a r g a   v i r t u a l   u n i t a r i a  

    T = t o r q u e   n a   e s t r u t u r a   d e v i d o   a   c a r g a s   R e a i s  

    G = m ó d u l o   d e   e l a s t i c i d a d e   t r a n s v e r s a l  

    J t = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   a   t o r ç ã o   q u e   é   i g u a l   a o   p o l a r   n o   c a s o   d e   c i r c u l o s   e   a n e i s  

  • trabalho devido a esforço normal
  • ∫   N   ¯ . N E S   d s

    Essa a gente, pra dizer a verdade, só é usada em treliças, dificilmente usamos em outros tipos de estruturas, ou seja, só usamos ela em estruturas que funcionem prioritariamente com esforços normais, e no nosso caso as treliças fazem esse papel. Vele lembrar que nesse caso a parcelo devido aos momentos também pode ser desprezada no caso de treliças, e com isso a nossa fórmula para treliças fica sendo:

    P   ¯ .   δ =     ∫   N   ¯ . N E S   d s

    Mas você pode me perguntar, e se minha treliça tiver 3 barras? Ai é só fazer três integrais, uma pra cada barra, e igualar ao trabalho externo, e você irá ter isso aqui:

    P   ¯ .   δ =     ∫ 0 L 1   N 1   ¯ . N 1 E 1 S 1   d s + ∫ 0 L 2   N 2   ¯ . N 2 E 2 S 2   d s + ∫ 0 L 3   N 3   ¯ . N 3 E 3 S 3   d s

    E claro que se as barras forem todas iguais, a nossa fórmula fica sendo

    P   ¯ .   δ = 1 E S     ∫ 0 L 1   N 1   ¯ . N 1   d s + ∫ 0 L 2   N 2   ¯ . N 2   d s + ∫ 0 L 3   N 3   ¯ . N 3   d s

    Em que cada termo da nossa fórmula representa o seguinte

    L 1 ,   L 2 ,   L 3 = c o m p r i m e n t o   d e   c a d a   b a r r a   d a   t r e l i ç a

      N 1   ¯ ,   N 2   ¯ ,   N 3   ¯ = N o r m a l   e m   c a d a   b a r r a   d e v i d o   a   c a r g a   v i r t u a l   n a   e s t r u t u r a

    N 1 , N 2 , N 3 = N o r m a l   e m   c a d a   b a r r a   d e v i d o   a   c a r g a   r e a l   n a   e s t r u t u r a

  • trabalho devido a esforço Momento

∫   M   ¯ . M E J   d s

Essa é o que a gente mais vai usar, usamos ela em estruturas tipo pórticos, grelhas, e treliças com cargas fora do nó que não possuam tirantes. Vale lembrar que geralmente quando se tem esforço de momento fletor, todas as outras três parcelas são desprezadas, com isso a nossa fórmula passa a ser.

P   ¯ .   δ =     ∫   M   ¯ . M E J   d s

Mas você pode me perguntar, e se meu pórtico tiver 3 barras? Ai é só fazer três integrais, uma pra cada barra, e igualar ao trabalho externo, e você irá ter isso aqui:

P   ¯ .   δ =     ∫ 0 L 1   M 1   ¯ . M 1 E 1 J 1   d s + ∫ 0 L 2   M 2   ¯ . M 2 E 2 J 2   d s + ∫ 0 L 3   M 3   ¯ . M 3 E 3 J 3   d s

E claro que se as barras forem todas iguais, a nossa fórmula fica sendo

P   ¯ .   δ = 1 E J     ∫ 0 L 1   M 1   ¯ . M 1   d s + ∫ 0 L 2   M 2   ¯ . M 2   d s + ∫ 0 L 3   M 3   ¯ . M 3   d s

Em que cada termo da nossa fórmula representa o seguinte

L 1 ,   L 2 ,   L 3 = c o m p r i m e n t o   d e   c a d a   b a r r a   d o   p ó r t i c o

  M 1   ¯ ,   M 2   ¯ ,   M 3   ¯ = M o m e n t o   e m   c a d a   b a r r a   d e v i d o   a   c a r g a   v i r t u a l   n a   e s t r u t u r a

M 1 , M 2 , M 3 = M o m e n t o   e m   c a d a   b a r r a   d e v i d o   a   c a r g a   r e a l   n a   e s t r u t u r a

Mas como é de lei, pra pegarmos bem a ideia da fórmula vamos fazer exercício, então chega mais e bora fazer uns exercícios pra isso ficar bem clarão na nossa cabeça.

Trabalho externo e interno

Trabalho interno

Como usar cada termo?