Teoria

Introdução

No tópico anterior, aprendemos de maneira geral como resolver uma estrutura pelo método dos deslocamentos.

Nessa aula vamos começar a detalhar alguns macetes que vão nos ajudar a resolver os nossos problemas mais rápidos e mais precisamente.

Nesse primeiro caso com estruturas apenas com deslocabilidades internas, vamos ver um exemplo em que a ideia é aprendermos a usar o método de maneira rápida, e também aprender a simplificar a facilitar as nossas contas. Dito isso, bora partir pro nosso exemplo para pegarmos os macetes.

Rigidez relativa

Antes de irmos para o nosso exemplo, vale mostrar aqui um conceito bem legal de rigidez relativa, que vaia ajudar a gente nós nossos cálculos. Imagine que vc faz a conta e descobre as seguintes rigidezes:

β 11 = 4 E J l

β 12 = 3 E J l

seria muito complicado se tivéssemos por exemplo os seguintes valores:

E = 2 × 10 7   k N / m 2

J = 0,024   m 4

Substituir esses valores seria muito ruim, então ao invés de usarmos as rigidezes aqui mostradas podemos simplificar elas, por exemplo, podemos dividir as rigidezes por:

1 4 E

Que fazendo essa conta teremos que:

β 11 = J l

β 12 = 3 J 4 l

Mas perceba que ainda temos uma inércia chatinha de calcular, as que podemos facilmente multiplicar por 10³, que no fim vai deixar de ser 0,024, e vai virar 24, que é mais fácil de calcular , e então teríamos as seguintes rigidezes:

β 11 = 24 l

β 12 = 3   .     24 4 l = 18 l

Ou seja, bem mais fácil de usar. Mas temos algumas observações importantes:

  • Aplicamos então o seguinte fator para as rigidezes relativas
  • 10 3 4 E

    Que nada mais é que a junção dos dois facilitadores que usamos:

  • Esse fator ai em cima, terá que ser usado em todas as rigidezes, se usar só em um, vai dar errado, então tome muito cuidado de saber qual o fator usado para tornar a rigidez real em rigidez relativa.
  • E agora a observação mais importante de todas, no final, quando determinarmos o valor de ∆ 1 e ∆ 2 eles vão estar calculados com os fatores 10 3 4 E

    Ou seja, se quisermos saber a rotação real, precisaremos multiplicar o valor de ∆ 1 e ∆ 2 calculado pelo fator que usamos, que nesse caso é 10 3 4 E . Para não ficar tão abstrato, vamos fazer um exemplo completo para facilitar a visualização.

    Exemplo

    Como já sabemos, nesse tópico iremos usar apenas estruturas com deslocabilidades internas, e que já sabemos que o que devemos fazer para travar essas deslocabilidades internas é usar chapas. Sendo assim a nossa estrutura será:

    Como já sabemos, nossa estrutura apresenta apenas deslocabilidades internas, que são exatamente as deslocabilidades nos nós que não são nem apoio e nem rotulas, sendo assim teremos que a nossa estrutura travada com chapas será:

    Sabemos que temos que determinar as nossas deformações: sendo assim sabemos que:

  • β 10 e β 20
  • Perceba que a barra 2 possui chapas em ambas as extremidades, logo será biengastada, e como o carregamento nela é concentrado, usaremos a seguinte tabela:

    E para barra 3 ela possui um apoio de um lado e uma chapa de outro, logo será do tipo engastado apoiado, e a carga nele é distribuída, sendo assim nossa tabela será:

    Calculando na nossa estrutura teremos que:

    β 10 = 60   k N m

    β 20 = 180 - 60 = 120   k N m

  • β 11 e β 21
  • Sabemos aqui que temos que rotacionar a chapa 1, e sabemos que se fizermos isso nos sentido anti-horário, sempre teremos os nossos momentos positivos, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 2 e 3 respeitando o caso biengastado ou engastado e apoiado:

    E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

    Veja que temos:

    β 11 = 4 E J l 1 + 4 E J l 2

    Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

    10 3 4 E

    E assim teremos:

    β 11 = 4 E J l 1 + 4 E J l 2 10 3 4 E

    Como já vimos no início dessa aula para este caso: 10 3 J = 24 . Substituindo teremos que:

    β 11 = 24 l 1 + 24 l 2 = 24 6 + 24 8 = 4 + 3 = 7

    Veja também que:

    β 21 = 2 E J l 2

    Como já usamos o fator de rigidez relativa, devemos continuar usando ele, e perceba que não podemos mudar mais, se usamos em um, temos que usar o mesmo em todos, sendo assim teremos que:

    10 3 4 E

    E assim teremos:

    β 21 = 2 E J l 2 10 3 4 E = J 2 l 2

    Como já vimos no início dessa aula, 10 3 J = 24 , substituindo teremos que:

    β 21 = 24 2 l 2 = 24 2   .     8 = 1,5

  • β 12 e β 22

Sabemos aqui que temos que rotacionar agora a chapa 2, e sabemos que se fizermos isso nos sentido anti-horário, sempre teremos os nossos momentos positivos, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 2 e 3 respeitando o caso biengastado ou engastado e apoiado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 12 = 2 E J l 2

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

10 3 4 E

E assim teremos:

β 12 = 2 E J l 2 10 3 4 E = J 2 l 2

Como já vimos no início dessa aula, 10 3 J = 24 , substituindo teremos que:

β 12 = 24 2 l 2 = 24 2   .     8 = 1,5

Veja também que:

β 22 = 4 E J l 2 + 3 E J l 3 + 4 E J l 4

Como já usamos o fator de rigidez relativa, devemos continuar usando ele, e perceba que não podemos mudar mais, se usamos em um, temos que usar o mesmo em todos, sendo assim teremos que:

10 3 4 E

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 2 + 3 E J l 3 + 4 E J l 4 10 3 4 E = J l 2 + 3 J 4 l 3 + J l 4

Como já vimos no início dessa aula, 10 3 J = 24 , substituindo teremos que:

β 22 = 24 8 + 3   .     24 4   .     6 +   24     6 = 10

Sistema de equações

Agora que já fizemos a parte mais difícil, basta montarmos o nosso sistema de equações que será:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

Substituindo

7 ∆ 1 + 1,5 ∆ 2 = - 60

1,5 ∆ 1 + 10 ∆ 2 = - 120

Resolvendo esse sistema teremos que:

∆ 1 = - 6,2

∆ 2 = - 11,1

E se perguntarem quanto vale o momento na barra 2, no ponto que colocamos a chapa 1?

Ai primeiro precisamos dos momentos que agem na barra 2 e na chapa 1 nos sistemas 0, 1 e 2, sendo assim teremos que:

E usando a nossa fórmula teremos que:

M A = M 0 A + M 1 A ∆ 1 + M 2 A ∆ 2

M A = 60 + 3   . - 6,2 + 1,5 .   - 11,1 = 24,8   k N m

E se pedissem as rotações nos pontos 1 e 2? Seria só colocar os valores de ∆ 1 e ∆ 2 , certo?

De certa forma isso é certo, mas não se esqueça que usamos uma rigidez relativa, ou seja, os ∆ 1 e ∆ 2 calculados levam em si essa relatividade, e a melhor forma de apagar isso é multiplicar os valores pelo coeficiente usado, sendo assim teremos que fazer:

∆ 1 10 3 4 E

∆ 2 10 3 4 E

Sendo assim se substituirmos teremos que:

∆ 1 = - 6,2   .   10 3 4 .   2   .   10 7 = 7,8   .   10 - 5 r a d

∆ 2 = - 11,1   .   10 3 4 .   2   .   10 7 = 1,39   .   10 - 4 r a d

E assim conseguimos entender como em sistemas apenas com deslocabilidades internas conseguimos determinar os deslocamentos, resolver o sistema de equações, determinar os momentos fletores por nó e por barra, e em fim determinamos os deslocamentos.

Agora bora treinar mais com mais exercícios, bora lá?

Exemplo

Sistema de equações