Apoios elásticos – Caso com Engastamento elástico

Vamos começar o problema fazendo a substituição de alguns apoios por chapas. Sempre vamos substituir o apoio elástico engastado por uma chapa e no caso do problema o apoio central possui uma deslocabilidade interna, então também deve ser substituído por chapa. Assim vamos ter:

Vimos também no início dessa aula que para o sistema zero solucionamos o nosso problema como se não existisse a mola, ou seja, basta determinarmos os valores de e . Para isso temos:

• Perceba que a barra com possui chapa de ambos os lados, e ela possui apenas uma carga distribuída, sendo assim nossa tabela será:



• Já para a barra com nós vamos ter um lado engastado e outro apoiado, sendo submetido à um carregamento distribuído, portanto:

Portanto, utilizando as tabelas nós vamos ter:

Onde:

E

Com isso teremos que:

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que tanto a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 1, que é essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator mas não ao fator .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Temos que tomar cuidado de usar nesse caso o K da mola que rotacionamos, nesse caso, a mola representada pela chapa 1.

Somando teremos que:

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Sabemos que para solucionarmos o sistema 2, basta que rotacionemos a chapa 2, e com isso teremos como determinar o . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado e o engastado-apoiado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

Substituindo:

Assim teremos que:

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez (porque utilizamos a rigidez relativa):

A primeira coisa que devemos fazer é eliminar o trecho em balanço, para fazer isso a gente substitui a força por uma força de igual valor e um momento associado:

Agora vamos começar o problema fazendo a substituição de alguns apoios por chapas. Sempre vamos substituir o apoio elástico engastado por uma chapa e no caso do problema o apoio central possui uma deslocabilidade interna, então também deve ser substituído por chapa. Assim vamos ter:

Vimos também no início dessa aula que para o sistema zero solucionamos o nosso problema como se não existisse a mola, ou seja, basta determinarmos os valores de e . Para isso temos:

• Perceba que a barra com possui chapa de ambos os lados, e ela possui apenas uma carga concentrada, sendo assim nossa tabela será:



• Já para a barra com nós vamos ter um lado engastado e outro apoiado, sendo submetido à um momento.

Portanto, utilizando essas duas informações vamos ter:

Onde:

E

A gente só tem que lembrar que o momento de é transferido ao engaste pelo fator de .

Com isso teremos que:

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 1, que é essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator mas não ao fator .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Temos que tomar cuidado de usar nesse caso o K da mola que rotacionamos, nesse caso, a mola representada pela chapa 1.

Somando teremos que:

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Sabemos que para solucionarmos o sistema 2, basta que rotacionemos a chapa 2, e com isso teremos como determinar o . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado e o engastado-apoiado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

Substituindo:

Assim teremos que:

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez (porque utilizamos a rigidez relativa):

A primeira coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Como só temos uma chapa, que é a chapa da mola, para o segundo passo, que é a determinação dos termos zero, iremos determinar apenas o valor de .

• Perceba que a barra possui um apoio de um lado (no ponto B) e uma chapa de outro (no ponto A), logo será do tipo engastado apoiado, e a carga nela é distribuída, sendo assim nossa tabela será:

Com isso teremos que:

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso engastado e apoiado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Somando teremos que:

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

Substituindo:

Assim teremos que:

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

A primeira coisa que devemos fazer é simplificar a nossa estrutura, ou seja, podemos ver que temos um balanço ali do lado direito, que podemos trocar por um momento que faça o mesmo que o balanço, ou seja, no nosso caso, o balanço no apoio B produz uma tração em cima, logo, precisamos ali de um momento que tracione as fibras da parte de cima, dessa maneira teremos que:

A segunda coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Como só temos uma chapa, que é a chapa da mola, para o segundo passo, que é a determinação dos termos zero, iremos determinar apenas o valor de .

• Perceba que a barra possui um apoio de um lado (no ponto B) e uma chapa de outro (no ponto A), logo será do tipo engastado apoiado, e a carga nela é distribuída, sendo assim nossa tabela será:

E na barra ainda temos um ponto muito importante, temos um momento de 100 kNm agindo na extremidade rotulada, se temos um momento ali, seria como se aquilo fosse um “engaste” porém perceba que não é. O motivo de eu estar chamando de engaste é para lembrarmos que em uma barra Bi-engastada, ou seja, como momentos fletores em ambos os lados, a quantidade de momento que ela transfere para a outra extremidade é metade do que age na primeira extremidade, ou seja, se temos de um lado um momento de 100 kNm no sentido horário, ele vai transferir para o outro lado metade, ou seja, 50kNm e NO MESMO SENTIDO do momento inicial, ou seja, horário também.

Essa é a única parada que devemos tomar cuidado, iremos representar isso no desenho ali embaixo, mas achei que seria bom deixar bem explicadinho aqui em cima o motivo do que vai acontecer ali em baixo, exatamente pra não deixar dúvidas, beleza? Então vamos lá.

Com isso teremos que:

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso engastado e apoiado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Somando teremos que:

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

Substituindo:

Assim teremos que:

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

A primeira coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Como só temos uma chapa, que é a chapa da mola, para o segundo passo, que é a determinação dos termos zero, iremos determinar apenas o valor de .

• Perceba que a barra possui um apoio de um lado (no ponto B) e uma chapa de outro (no ponto A), logo será do tipo engastado apoiado, e a carga nela é distribuída, sendo assim nossa tabela será:

Porém temos uma carga concentrada, que podemos analisar em uma estrutura separada, e usar superposição de efeitos. Nesse caso temos que fórmula a ser usada é:

Sendo assim a nossa conta será:

Com isso teremos que:

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso engastado e apoiado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Somando teremos que:

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

Substituindo:

Assim teremos que:

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

A primeira coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Vimos também no início dessa aula que para o sistema zero solucionamos o nosso problema como se não existisse a mola, ou seja, basta determinarmos os valores de e . Para isso temos:

• Perceba que a barra possui chapa de ambos os lados, e a carga nela é distribuída, sendo assim nossa tabela será:

Sendo assim a nossa canta será:

Com isso teremos que:

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que tanto a chapa 1 quanto 2 são uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 1, que é essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator mas não ao fator . Porque não somamos ao se ele é uma mola? Porque só temos certeza da rotação que aconteceu na chapa 1, que foi uma rotação de 1 radiano que nós mesmos colocamos. A rotação da segunda mola vai ser contabilizada, quando rotacionarmos a segunda mola.

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Somando teremos que:

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Sabemos que para solucionarmos o sistema 2, basta que rotacionemos a chapa 2, e com isso teremos como determinar o . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que:

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que tanto a chapa 1 quanto 2 são uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 2, que é essa mola, em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator mas não ao fator . Porque não somamos ao se ele é uma mola? Porque só temos certeza da rotação que aconteceu na chapa 2, que foi uma rotação de 1 radiano que nós mesmos colocamos. A rotação da primeira mola foi contabilizada, quando rotacionarmos a primeira mola.

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Somando teremos que:

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

E assim teremos:

Substituindo teremos que: