Apoios elásticos – Caso com Engastamento elástico

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Teoria

Como lidar com o nosso engaste elástico?

Antes de fazer um exemplinho pra facilitar o entendimento, temos que pegar o macete do que devemos fazer com a nossa mola. E para isso precisamos saber que existe um tratamento a ser feito no caso do sistema 0 (com carregamento externo) e um tratamento para os casos com rotação unitária dos nossos outros sistemas (1, 2, 3 ...), então vamos analisar essa diferença:

  • Sistema 0
  • No sistema 0 é bem tranquilinho, basta você substituir o engaste elástico por uma chapa, independente da posição que ele esteja, basta trocar a mola inteira por uma chapa e resolver como se fosse um nó com chapa como já conhecemos, então até aqui é bem de boas.

  • Sistemas 1, 2, 3 ...
  • Nesse caso podemos lembrar os nossos conceitos de física, porque pensa só, colocamos uma chapa no lugar o engaste elástico, certo? Se rotacionarmos a chapa é como se rotacionássemos a mola, certo? Se isso acontece, como podemos determinar o momento fletor que vai agir na mola a partir de uma rotação imposta? Ai precisamos lembrar da nossa formulazinha:

    M m o l a = k   .   θ

    Em que:

    k = r i g i d e z   d a   m o l a  

    θ = â n g u l o   d e   r o t a ç ã o   d a   c h a p a   q u e   g e r a l m e n t e   é   1

    Entendido isso, bora partir para o nosso exemplinho que facilita bem esse entendimento.

    Exemplo

    Imagine que tenhamos que determinar a rotação na nossa mola da seguinte viga:

    De inicio pode parecer complicado, mas vamos ver que é bem tranquilo de ser feito, então vamos lá.

    Passo 1 – simplificação da estrutura

    Veja que temos uma região em balanço, certo? Como já vimos em um exercício na aula sobre estruturas apenas com deslocabilidade interna, podemos trocar esse balanço por um momento que represente o que ele faz no ponto C, ou seja, como a carga de 40 kN traciona as fibras da parte de cima do ponto C, iremos por ali um momento que também tracione as fibras da parte de cima, dessa maneira iremos ter que:

    Passo 2 – determinação das deslocabilidades internas e suas chapas

    A segunda coisa que precisamos lembrar é que precisamos por no apoio central uma chapa, certo? E com isso teríamos que:

    Sabemos que no apoio C não teremos chapa certo? Exatamente por ser um apoio extremo.

    Mas no apoio A, como vimos no início dessa aula, se temos uma mola do tipo engaste elástico, obrigatoriamente trocamos ela por uma chapa, e então o nosso sistema a ser resolvido passa a ser:

    show? Bora pro próximo passo.

    Passo 3 – solução do sistema 0

    Vimos também no início dessa aula que para o sistema zero solucionamos o nosso problema como se não existisse a mola, ou seja, basta determinarmos os valores de β 10 e β 20 . Para isso temos:

  • Perceba que para as barras 1, possui chapa de ambos os lados, logo será considerada uma estrutura biengastada , e a carga nela é distribuída, sendo assim nossa tabela será:
  • Já para a barra 2, ela possui um apoio de um lado (no ponto C) e uma chapa de outro (no ponto B), logo será do tipo engastado apoiado, e a carga nela é distribuída, sendo assim nossa tabela será:

A única coisa que devemos tomar cuidado é de lembrar que como temo um mento fletor agindo no ponto C ele automaticamente se transforma em um engaste, e sabemos que barras bi-engastadas transferem metade do seu momento e conservam o sinal, sendo assim, se temos um momento de 80 kNm agindo em C, ela vai transferir pra B metade e com o mesmo sinal, ou seja, em modulo será 40 kNm.

Essa é a única parada que devemos tomar cuidado, iremos representar isso no desenho ali embaixo, mas achei que seria bom deixar bem explicadinho aqui em cima o motivo do que vai acontecer ali em baixo, exatamente pra não deixar dúvidas, beleza? Então vamos lá.

Com isso teremos que:

β 10 = - 120 + 180 - 40 = 20   k N m

β 20 = 120 = 120   k N m

Passo 4 – solução do sistema 1

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   e β 21 . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 1 e 2 respeitando o caso engastado e apoiado e o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 4 E J l 1 + 3 E J l 2

E:

β 21 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 + 3 E J l 2 1 E J

β 21 = 2 E J l 1   . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 + 3 l 2 = 4 6 + 3 6 = 7 6

β 21 = 2 l 1 = 2 6

Passo 5 – solução do sistema 2

Sabemos que para solucionarmos o sistema 2, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 22   e β 12 . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 1 e 2 respeitando o caso engastado e apoiado e o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 22 = 4 E J l 1

E:

β 12 = 2 E J l 1

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que a chapa 2 é uma mola? E que rotacionamos essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 22 .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 10 5   .   1 = 10 5

Somando teremos que:

β 22 = 4 E J l 1 + 10 5

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 1 + 10 5 . 1 E J  

β 12 = 2 E J l 1   . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l 1 + 10 5 0,6   .     10 5 = 4 6 + 10 6 = 14 6

β 12 = 2 l 1 = 2 6

Passo 6 – solução do sistema total

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

Substituindo:

20 + 7 6 ∆ 1 + 2 6 ∆ 2 = 0

120 + 2 6 ∆ 1 + 14 6 ∆ 2 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 2,55

∆ 2 = - 51,06

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 2 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

∆ 2 = - 51,06   . 1 E J = - 51,06   . 1 0,6   .   10 5 = 8,50   .   10 - 4 r a d

Ufa, enfim terminamos, agora bora fazer exercício pra ficar craque !!!!

Passo 4 – solução do sistema 1

Passo 5 – solução do sistema 2

Passo 6 – solução do sistema total

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a rotação das seguintes molas da seguinte viga. E J = 10 7   k N m / r a d .

Passo 1

Vamos começar o problema fazendo a substituição de alguns apoios por chapas. Sempre vamos substituir o apoio elástico engastado por uma chapa e no caso do problema o apoio central possui uma deslocabilidade interna, então também deve ser substituído por chapa. Assim vamos ter:

Passo 2

Vimos também no início dessa aula que para o sistema zero solucionamos o nosso problema como se não existisse a mola, ou seja, basta determinarmos os valores de β 10 e β 20 . Para isso temos:

  • Perceba que a barra com 4 m   possui chapa de ambos os lados, e ela possui apenas uma carga distribuída, sendo assim nossa tabela será:
  • Já para a barra com 5   m nós vamos ter um lado engastado e outro apoiado, sendo submetido à um carregamento distribuído, portanto:

Portanto, utilizando as tabelas nós vamos ter:

Onde:

q l 2 12 = 600 × 4 2 12 = 800   k N . m

E

q l 2 8 = 600 × 5 2 8 = 1875   k N . m

Com isso teremos que:

β 10 = 800   k N m

β 20 = 1875 - 800 = 1075   k N m

Passo 3

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 4 E J l 1

β 21 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 1 E J

β 21 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 = 4 4

β 21 = 2 l 1 = 2 4

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que tanto a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 1, que é essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 11 mas não ao fator β 21 .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Temos que tomar cuidado de usar nesse caso o K da mola que rotacionamos, nesse caso, a mola representada pela chapa 1.

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 36   .   10 5   .   1 = 36   .     10 5

Somando teremos que:

β 11 = 4 E J l 1 + 36   .     10 5

β 21 = 2 E J l 1

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 + 36   .     10 5 . 1 E J  

β 21 = 2 E J l 1 . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 + 36   .   10 5 10 7 = 4 4 + 36 100 = 1,36

β 21 = 2 l 1 = 2 4 = 0,5

Passo 4

Sabemos que para solucionarmos o sistema 2, basta que rotacionemos a chapa 2, e com isso teremos como determinar o β 22     e   β 12 . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado e o engastado-apoiado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 22 = 4 E J l 1 + 3 E J l 2

β 12 = 2 E J l 1

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 1 + 3 E J l 2 1 E J

β 12 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l 1 + 3 l 2 = 4 4 + 3 5 = 1,6

β 12 = 2 l 1 = 2 4 = 0,5

Passo 5

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

Substituindo:

800 + 1,36 ∆ 1 + 0,5 ∆ 2 = 0

1075 + 0,5 ∆ 1 + 1,6 ∆ 2 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 385,51   r a d

∆ 2 = - 551,40   r a d

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 1   e   ∆ 2 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez (porque utilizamos a rigidez relativa):

∆ 1 = - 385,51 . 1 E J = - 385,51 . 1 10 7 = - 3,86   .   10 - 5   r a d

∆ 2 = - 551,40 . 1 E J = - 551,40 . 1   10 7 = - 5,51 .   10 - 5 r a d

Resposta

∆ 1 = - 3,86   .   10 - 5   r a d

∆ 2 = - 5,51 .   10 - 5 r a d

Exercício Resolvido #2

Determine a rotação das seguintes molas da seguinte viga. E J = 10 7   k N m / r a d .

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é eliminar o trecho em balanço, para fazer isso a gente substitui a força por uma força de igual valor e um momento associado:

Agora vamos começar o problema fazendo a substituição de alguns apoios por chapas. Sempre vamos substituir o apoio elástico engastado por uma chapa e no caso do problema o apoio central possui uma deslocabilidade interna, então também deve ser substituído por chapa. Assim vamos ter:

Passo 2

Vimos também no início dessa aula que para o sistema zero solucionamos o nosso problema como se não existisse a mola, ou seja, basta determinarmos os valores de β 10 e β 20 . Para isso temos:

  • Perceba que a barra com 4 m   possui chapa de ambos os lados, e ela possui apenas uma carga concentrada, sendo assim nossa tabela será:
  • Já para a barra com 6   m nós vamos ter um lado engastado e outro apoiado, sendo submetido à um momento.

Portanto, utilizando essas duas informações vamos ter:

Onde:

P a b 2 l 2 = 400 × 3 × 1 2 4 2 = 75   k N . m

E

P a 2 b l 2 = 400 × 3 2 × 1 4 2 = 225   k N . m

A gente só tem que lembrar que o momento de 600   k N . m é transferido ao engaste pelo fator de 0,5 .

Com isso teremos que:

β 10 = 75   k N m

β 20 = - 225 - 300 = - 525   k N m

Passo 3

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 4 E J l 1

β 21 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 1 E J

β 21 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 = 4 4

β 21 = 2 l 1 = 2 4

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 1, que é essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 11 mas não ao fator β 21 .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Temos que tomar cuidado de usar nesse caso o K da mola que rotacionamos, nesse caso, a mola representada pela chapa 1.

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 36   .   10 5   .   1 = 36   .     10 5

Somando teremos que:

β 11 = 4 E J l 1 + 36   .     10 5

β 21 = 2 E J l 1

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 + 36   .     10 5 . 1 E J  

β 21 = 2 E J l 1 . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 + 36   .   10 5 10 7 = 4 4 + 36 100 = 1,36

β 21 = 2 l 1 = 2 4 = 0,5

Passo 4

Sabemos que para solucionarmos o sistema 2, basta que rotacionemos a chapa 2, e com isso teremos como determinar o β 22     e   β 12 . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado e o engastado-apoiado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 22 = 4 E J l 1 + 3 E J l 2

β 12 = 2 E J l 1

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 1 + 3 E J l 2 1 E J

β 12 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l 1 + 3 l 2 = 4 4 + 3 6 = 1,5

β 12 = 2 l 1 = 2 4 = 0,5

Passo 5

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

Substituindo:

75 + 1,36 ∆ 1 + 0,5 ∆ 2 = 0

- 525 + 0,5 ∆ 1 + 1,5 ∆ 2 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 209,50   r a d

∆ 2 = 419,83   r a d

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 1   e   ∆ 2 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez (porque utilizamos a rigidez relativa):

∆ 1 = - 209,50 . 1 E J = - 209,50 . 1 10 7 = - 2,1   .   10 - 5   r a d

∆ 2 = 419,83   . 1 E J = 419,83   . 1   10 7 = 4,2 .   10 - 5 r a d

Resposta

∆ 1 = - 2,1   .   10 - 5   r a d

∆ 2 = 4,2 .   10 - 5 r a d

Exercício Resolvido #3

Determine a rotação da mola da seguinte viga:

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Passo 2

Como só temos uma chapa, que é a chapa da mola, para o segundo passo, que é a determinação dos termos zero, iremos determinar apenas o valor de β 10 .

  • Perceba que a barra possui um apoio de um lado (no ponto B) e uma chapa de outro (no ponto A), logo será do tipo engastado apoiado, e a carga nela é distribuída, sendo assim nossa tabela será:

Com isso teremos que:

β 10 = 640   k N m

Passo 3

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso engastado e apoiado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 3 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 3 E J l 1 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 3 l 1 = 3 8

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 11 .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 5   .   10 5   .   1 = 5   .     10 5

Somando teremos que:

β 11 = 3 E J l 1 + 5   .     10 5

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 3 E J l 1 + 5   .     10 5 . 1 E J  

Substituindo teremos que:

β 11 = 3 l 1 + 5   .   10 5 0,6   .     10 5 = 3 8 + 50 6 = 8,71

Passo 4

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo:

640 + 8,71 ∆ 1 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 73,48

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 1 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

∆ 1 = - 73,48   . 1 E J = - 73,48   . 1 0,6   .   10 5 = 1,22   .     10 - 3 r a d

Resposta

∆ 1 = 1,22   .     10 - 3 r a d

Exercício Resolvido #4

Determine a rotação da mola da seguinte viga:

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é simplificar a nossa estrutura, ou seja, podemos ver que temos um balanço ali do lado direito, que podemos trocar por um momento que faça o mesmo que o balanço, ou seja, no nosso caso, o balanço no apoio B produz uma tração em cima, logo, precisamos ali de um momento que tracione as fibras da parte de cima, dessa maneira teremos que:

Passo 2

A segunda coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Passo 3

Como só temos uma chapa, que é a chapa da mola, para o segundo passo, que é a determinação dos termos zero, iremos determinar apenas o valor de β 10 .

  • Perceba que a barra possui um apoio de um lado (no ponto B) e uma chapa de outro (no ponto A), logo será do tipo engastado apoiado, e a carga nela é distribuída, sendo assim nossa tabela será:

E na barra ainda temos um ponto muito importante, temos um momento de 100 kNm agindo na extremidade rotulada, se temos um momento ali, seria como se aquilo fosse um “engaste” porém perceba que não é. O motivo de eu estar chamando de engaste é para lembrarmos que em uma barra Bi-engastada, ou seja, como momentos fletores em ambos os lados, a quantidade de momento que ela transfere para a outra extremidade é metade do que age na primeira extremidade, ou seja, se temos de um lado um momento de 100 kNm no sentido horário, ele vai transferir para o outro lado metade, ou seja, 50kNm e NO MESMO SENTIDO do momento inicial, ou seja, horário também.

Essa é a única parada que devemos tomar cuidado, iremos representar isso no desenho ali embaixo, mas achei que seria bom deixar bem explicadinho aqui em cima o motivo do que vai acontecer ali em baixo, exatamente pra não deixar dúvidas, beleza? Então vamos lá.

Com isso teremos que:

β 10 = 312,5 - 50 = 262,5   k N m

Passo 4

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso engastado e apoiado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 3 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 3 E J l 1 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 3 l 1 = 3 10

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 11 .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 5 0   .   10 5   .   1 = 5 0   .     10 5

Somando teremos que:

β 11 = 3 E J l 1 + 5   .     10 5

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 3 E J l 1 + 5   .     10 5 . 1 E J  

Substituindo teremos que:

β 11 = 3 l 1 + 5 0   .   10 5 0,6   .     10 5 = 3 10 + 50 0 6 = 83,63

Passo 5

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo:

262,5 + 83,63 ∆ 1 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 3,14

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 1 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

∆ 1 = - 3,14   . 1 E J = - 3,14   . 1 0,6   .   10 5 = 5,23   .     10 - 5 r a d

Resposta

∆ 1 = 5,23   .     10 - 5 r a d

Exercício Resolvido #5

Determine a rotação da mola da seguinte viga:

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Passo 2

Como só temos uma chapa, que é a chapa da mola, para o segundo passo, que é a determinação dos termos zero, iremos determinar apenas o valor de β 10 .

  • Perceba que a barra possui um apoio de um lado (no ponto B) e uma chapa de outro (no ponto A), logo será do tipo engastado apoiado, e a carga nela é distribuída, sendo assim nossa tabela será:

Porém temos uma carga concentrada, que podemos analisar em uma estrutura separada, e usar superposição de efeitos. Nesse caso temos que fórmula a ser usada é:

Sendo assim a nossa conta será:

Com isso teremos que:

β 10 = 540 + 225 = 765   k N m

Passo 3

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso engastado e apoiado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 3 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 3 E J l 1 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 3 l 1 = 3 1 2

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 11 .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 48   .   10 5   .   1 = 48   .     10 5

Somando teremos que:

β 11 = 3 E J l 1 + 48   .     10 5

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 3 E J l 1 + 48   .     10 5 . 1 E J  

Substituindo teremos que:

β 11 = 3 l 1 + 48   .   10 5 12   .     10 5 = 3 1 2 + 48 12 = 4,25

Passo 4

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo:

765 + 4,25 ∆ 1 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 180

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 1 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

∆ 1 = - 180   . 1 E J = - 180   . 1 12   .   10 5 = - 1,5   .     10 - 4   r a d

Resposta

∆ 1 = - 1,5   .     10 - 4   r a d

Exercício Resolvido #6

Determine a rotação das seguintes molas da seguinte viga:

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Passo 2

Vimos também no início dessa aula que para o sistema zero solucionamos o nosso problema como se não existisse a mola, ou seja, basta determinarmos os valores de β 10 e β 20 . Para isso temos:

  • Perceba que a barra possui chapa de ambos os lados, e a carga nela é distribuída, sendo assim nossa tabela será:

Sendo assim a nossa canta será:

Com isso teremos que:

β 10 = 150   k N m

β 20 = - 150   k N m

Passo 3

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 4 E J l 1

β 21 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 1 E J

β 21 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 = 4 6

β 21 = 2 l 1 = 2 6

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que tanto a chapa 1 quanto 2 são uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 1, que é essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 11 mas não ao fator β 21 . Porque não somamos ao β 21 se ele é uma mola? Porque só temos certeza da rotação que aconteceu na chapa 1, que foi uma rotação de 1 radiano que nós mesmos colocamos. A rotação da segunda mola vai ser contabilizada, quando rotacionarmos a segunda mola.

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 48   .   10 5   .   1 = 48   .     10 5

Somando teremos que:

β 11 = 4 E J l 1 + 48   .     10 5

β 21 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 + 48   .     10 5 . 1 E J  

β 21 = 2 E J l 1 . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 + 48   .   10 5 12   .     10 5 = 4 6 + 48 12 = 4,67

β 21 = 2 l 1 = 2 6 = 0,33

Passo 4

Sabemos que para solucionarmos o sistema 2, basta que rotacionemos a chapa 2, e com isso teremos como determinar o β 22     e   β 12 . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 22 = 4 E J l 1

β 12 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 1 1 E J

β 12 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l 1 = 4 6

β 12 = 2 l 1 = 2 6

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que tanto a chapa 1 quanto 2 são uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 2, que é essa mola, em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 22 mas não ao fator β 12 . Porque não somamos ao β 12 se ele é uma mola? Porque só temos certeza da rotação que aconteceu na chapa 2, que foi uma rotação de 1 radiano que nós mesmos colocamos. A rotação da primeira mola foi contabilizada, quando rotacionarmos a primeira mola.

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 48   .   10 5   .   1 = 48   .     10 5

Somando teremos que:

β 22 = 4 E J l 1 + 48   .     10 5

β 12 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 1 + 48   .     10 5 . 1 E J  

β 12 = 2 E J l 1 . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l 1 + 48   .   10 5 12   .     10 5 = 4 6 + 48 12 = 4,67

β 12 = 2 l 1 = 2 6 = 0,33

Passo 5

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

Substituindo:

150 + 4,67 ∆ 1 + 0,33 ∆ 2 = 0

- 150 + 0,33 ∆ 1 + 4,67 ∆ 2 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 34,56

∆ 2 = 34,56

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 1 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

∆ 1 = - 34,56   . 1 E J = - 34,56   . 1 12   .   10 5 = - 2,88   .   10 - 5   r a d

∆ 2 = 34,56   . 1 E J = 34,56   . 1 12   .   10 5 = 2,88   .   10 - 5   r a d

Resposta

∆ 1 = - 2,88   .   10 - 5   r a d

∆ 2 = 2,88   .   10 - 5   r a d

Exercício Resolvido #7

Determine a rotação das seguintes molas da seguinte viga. E J = 10 7   k N m / r a d .

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Passo 2

Vimos também no início dessa aula que para o sistema zero solucionamos o nosso problema como se não existisse a mola, ou seja, basta determinarmos os valores de β 10 e β 20 . Para isso temos:

  • Perceba que a barra possui chapa de ambos os lados, e ela possui apenas uma carga concentrada, sendo assim nossa tabela será:

Portanto, utilizando a tabela nós vamos ter:

Onde:

P L 8 = 600 × 6 8 = 450   k N . m

Com isso teremos que:

β 10 = 450   k N m

β 20 = - 450   k N m

Passo 3

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 4 E J l 1

β 21 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 1 E J

β 21 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 = 4 6

β 21 = 2 l 1 = 2 6

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que tanto a chapa 1 quanto 2 são uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 1, que é essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 11 mas não ao fator β 21 . Porque não somamos ao β 21 se ele é uma mola? Porque só temos certeza da rotação que aconteceu na chapa 1, que foi uma rotação de 1 radiano que nós mesmos colocamos. A rotação da segunda mola vai ser contabilizada, quando rotacionarmos a segunda mola.

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Temos que tomar cuidado de usar nesse caso o K da mola que rotacionamos, nesse caso, a mola representada pela chapa 1.

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 24   .   10 5   .   1 = 24   .     10 5

Somando teremos que:

β 11 = 4 E J l 1 + 24   .     10 5

β 21 = 2 E J l 1

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 + 24   .     10 5 . 1 E J  

β 21 = 2 E J l 1 . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 + 24   .   10 5 10 7 = 4 6 + 24 96 = 0,917

β 21 = 2 l 1 = 2 6 = 0,333

Passo 4

Sabemos que para solucionarmos o sistema 2, basta que rotacionemos a chapa 2, e com isso teremos como determinar o β 22     e   β 12 . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 22 = 4 E J l 1

β 12 = 2 E J l 1

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 1 1 E J

β 12 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l 1 = 4 6

β 12 = 2 l 1 = 2 6

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que tanto a chapa 1 quanto 2 são uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 2, que é essa mola, em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 22 mas não ao fator β 12 . Porque não somamos ao β 12 se ele é uma mola? Porque só temos certeza da rotação que aconteceu na chapa 2, que foi uma rotação de 1 radiano que nós mesmos colocamos. A rotação da primeira mola foi contabilizada, quando rotacionarmos a primeira mola.

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

E tome cuidado de usar o k da mola que foi girada, que nesse caso é a mola representada pela chapa 2.

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 36   .   10 5   .   1 = 36   .     10 5

Somando teremos que:

β 22 = 4 E J l 1 + 36   .     10 5

β 12 = 2 E J l 1

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 1 + 36   .     10 5 . 1 E J  

β 12 = 2 E J l 1 . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l 1 + 36   .   10 5 10 7 = 4 6 + 36 100 = 1,027

β 12 = 2 l 1 = 2 6 = 0,333

Passo 5

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

Substituindo:

450 + 0,917 ∆ 1 + 0,333 ∆ 2 = 0

- 450 + 0,333 ∆ 1 + 1,027 ∆ 2 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 736,58   r a d

∆ 2 = 677,00   r a d

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 1   e   ∆ 2 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez (porque utilizamos a rigidez relativa):

∆ 1 = - 736,58     . 1 E J = - 736,58   . 1 10 7 = - 7,37   .   10 - 5   r a d

∆ 2 = 677   . 1 E J = 677   . 1   10 7 = 6,77   .   10 - 5 r a d

Resposta

∆ 1 = - 7,37   .   10 - 5   r a d

∆ 2 = 6,77   .   10 - 5 r a d

Exercício Resolvido #8

Determine a rotação das seguintes molas da seguinte viga:

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Passo 2

Vimos também no início dessa aula que para o sistema zero solucionamos o nosso problema como se não existisse a mola, ou seja, basta determinarmos os valores de β 10 e β 20 . Para isso temos:

  • Perceba que a barra possui chapa de ambos os lados, e ela possui uma carga distribuída e uma carga concentrada, sendo assim nossas tabelas serão:

Como temos dois tipos de cargas diferentes, iremos separar os carregamentos verificando cada um isoladamente na estrutura, e depois juntamos tudo, sendo assim teremos que:

Com isso teremos que:

β 10 = 810 + 810 = 1620   k N m

β 20 = - 810 - 810 = - 1620   k N m

Passo 3

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 4 E J l 1

β 21 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 1 E J

β 21 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 = 4 9

β 21 = 2 l 1 = 2 9

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que tanto a chapa 1 quanto 2 são uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 1, que é essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 11 mas não ao fator β 21 . Porque não somamos ao β 21 se ele é uma mola? Porque só temos certeza da rotação que aconteceu na chapa 1, que foi uma rotação de 1 radiano que nós mesmos colocamos. A rotação da segunda mola vai ser contabilizada, quando rotacionarmos a segunda mola.

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Temos que tomar cuidado de usar nesse caso o K da mola que rotacionamos, nesse caso, a mola representada pela chapa 1.

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 24   .   10 5   .   1 = 24   .     10 5

Somando teremos que:

β 11 = 4 E J l 1 + 24   .     10 5

β 21 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 + 24   .     10 5 . 1 E J  

β 21 = 2 E J l 1 . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 + 24   .   10 5 96   .     10 5 = 4 9 + 24 96 = 0,694

β 2 1 = 2 l 1 = 2 9 = 0,222

Passo 4

Sabemos que para solucionarmos o sistema 2, basta que rotacionemos a chapa 2, e com isso teremos como determinar o β 22     e   β 12 . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 22 = 4 E J l 1

β 12 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 1 1 E J

β 12 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l 1 = 4 9

β 12 = 2 l 1 = 2 9

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que tanto a chapa 1 quanto 2 são uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 2, que é essa mola, em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 22 mas não ao fator β 12 . Porque não somamos ao β 12 se ele é uma mola? Porque só temos certeza da rotação que aconteceu na chapa 2, que foi uma rotação de 1 radiano que nós mesmos colocamos. A rotação da primeira mola foi contabilizada, quando rotacionarmos a primeira mola.

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

E tome cuidado de usar o k da mola que foi girada, que nesse caso é a mola representada pela chapa 2.

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 60   .   10 5   .   1 = 60   .     10 5

Somando teremos que:

β 22 = 4 E J l 1 + 60   .     10 5

β 12 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 1 + 60   .     10 5 . 1 E J  

β 12 = 2 E J l 1 . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l 1 + 60   .   10 5 96   .     10 5 = 4 9 + 60 96 = 1,069

β 12 = 2 l 1 = 2 9 = 0 , 222

Passo 5

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 1 2 ∆ 2 = 0

β 2 0 + β 21 ∆ 1 + β 2 2 ∆ 2 = 0

Substituindo:

1620 + 0,694 ∆ 1 + 0 , 222 ∆ 2 = 0

- 1620 + 0 , 222 ∆ 1 + 1,069 ∆ 2 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 3019 , 66

∆ 2 = 2142,53

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 1   e   ∆ 2 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

∆ 1 = - 3019,66   . 1 E J = - 3019,66   . 1 96   .   10 5 = - 3,15   .   10 - 4   r a d

∆ 2 = 2142,53   . 1 E J = 2142,53   . 1 96   .   10 5 = 2,23   .   10 - 4 r a d

Resposta

∆ 1 = - 3,15   .   10 - 4   r a d

∆ 2 = 2,23   .   10 - 4 r a d