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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 14b

10. 14 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x . Resolva o problema de duas maneiras, usando elementos diferenciais retangulares: (a) com uma espessura de d x e (b) com uma espessura de d y .

Passo 1

b.

A fórmula do momento de inércia em relação ao eixo x é

I x = ∫ A y 2 d A

Nós precisamos escolher um elemento infinitesimal de área que seja paralelo ao eixo x :

O elemento infinitesimal de área vai ser igual a

d A = 2 x d y

Isolando x na função dada:

y = 4 - 4 x 2

4 x 2 = 4 - y

x 2 = 4 - y 4

x = 4 - y 4 1 / 2

x = 4 - y 1 / 2 4 1 / 2

x = 4 - y 1 / 2 2

Então

d A = 2 ⋅ 4 - y 1 / 2 2 d y

d A = 4 - y 1 / 2 d y

E os limites de integração vão ir de 0 até 4, porque vamos integrar em y .

Passo 2

Agora é só reolver a integral

I x = ∫ A y 2 d A

I x = ∫ 0 4 y 2 ⋅ 4 - y 1 / 2 d y

Vamos usar a técnica de substituição

u = 4 - y

y = 4 - u

d y = - d u

Os limites de integração vão ser:

Quando y = 0 :

u = 4 - y

u = 4 - 0

u = 4

E quando y = 4 :

u = 4 - y

u = 4 - 4

u = 0

Como a integral não pode ir de 4 até 0, devemos mudar o sinal da integral e inverter os limites de integração:

I x = - ∫ 0 4 4 - u 2 ⋅ u 1 / 2 ( - 1 ) d u

O menos de fora da integral com o que tem ali dentro de lado do d u se cancelam:

I x = ∫ 0 4 4 - u 2 ⋅ u 1 / 2 d u

I x = ∫ 0 4 ( u 2 - 8 u + 16 ) ⋅ u 1 / 2 d u

I x = ∫ 0 4 ( u 2 ⋅ u 1 / 2 - 8 u ⋅ u 1 / 2 + 16 ⋅ u 1 / 2 ) d u

Quando a gente multiplica o mesmo número com expoentes diferentes, devemos somar os expoentes:

I x = ∫ 0 4 ( u 2 + 1 / 2 - 8 u 1 + 1 / 2 + 16 u 1 / 2 ) d u

I x = ∫ 0 4 ( u 5 / 2 - 8 u 3 / 2 + 16 u 1 / 2 ) d u

Agora é só fazer a integração do polinômio:

I x = 2 u 7 / 2 7 - 8 ⋅ 2 u 5 / 2 5 + 16 ⋅ 2 u 3 / 2 3 0 4

I x = 2 4 7 / 2 7 - 8 ⋅ 2 4 5 / 2 5 + 16 ⋅ 2 4 3 / 2 3

I x = 2 8 7 - 8 ⋅ 2 4 5 / 2 5 + 16 ⋅ 2 4 3 / 2 3

I x = 19,5   m 4

Resposta

I x = 19,5   m 4

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