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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 19

10.19 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo y .

Passo 1

A fórmula do momento de inércia em relação ao eixo y é

I y = ∫ A x 2 d A

Nós precisamos escolher um elemento infinitesimal de área que seja paralelo ao eixo y :

O elemento infinitesimal de área vai ser igual a

d A = h - y d x

Nós já temos o valor de y , para substituirmos no d A :

y = h b 2 ⋅ x 2

Então

d A = h - h b 2 ⋅ x 2 d x

E os limites de integraçãoo vão ir de 0 até b , pois vamos integrar em x .

Passo 2

Agora é só resolver a integral

I y = ∫ A x 2 d A

I y = ∫ 0 b x 2 h - h b 2 ⋅ x 2 d x

I y = ∫ 0 b h x 2 - h b 2 ⋅ x 4 d x

b e h são constantes, então essa é uma integral de um polinômio simples:

I y = h x 3 3 - h b 2 ⋅ x 5 5 0 b

I y = h b 3 3 - h b 2 ⋅ b 5 5 - h 0 3 3 - h b 2 ⋅ 0 5 5

I y = h b 3 3 - h b 3 5 - 0

I y = 5 h b 3 - 3 h b 3 15

I y = 2 h b 3 15   m 4

Resposta

I y = 2 h b 3 15   m 4

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