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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 10

10- Determine por integração direta o momento de inércia da superfície sombreada em relação ao eixo x .

Passo 1

Por linha vertical temos que a área elementar será:

d A = y   d x

E o valor de k pelo ponto ( a , b ) será:

b = k e a / a

k = b e

Dessa forma a integral será (com x variando de 0 até a ):

I x = ∫ 0 a y 2   d A

Porém como:

d I x = 1 3 y 3   d x

Pois todos os elementos verticais não estão na mesma distância do eixo x

Dessa forma

I x = 1 3 ∫ 0 a y 3   d x

I x = ∫ 0 a b e   e x a 3   d x

Fazendo a integral:

I x = b 3 3 e 3 a 3   e 3 x a 0 a

I x = a b 3 9 e 3   ( e 3 - 1 )

I x = a b 3 9 1 - e - 3

Resposta

I x = a b 3 9 1 - e - 3

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