Enunciado

Como F → = 100 k ^ N , determine o momento de binário que atua na montagem. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. O elemento B A está localizado no plano x - y .

Passo 1

Vamos começar lembrando da definição do momento de binário na forma vetorial:

M → = r → 1 - r → 2 × F →

Onde r → 1 e r → 2 são os vetores que ligam a origem do sistema de coordenadas até os dois pontos de aplicação das forças F → e - F → .

Já temos a força F → pelo enunciado, então falta encontrar os dois vetores r → 1 e r → 2 .

Passo 2

Começamos por r → 1 , vamos calcular o seu módulo:

r 1 = 200 2 + 300 2 = 360,6   m m

Agora vamos procurar os ângulos. Confiar no desenho pode ser um pouco arriscado: não podemos garantir que r → 1 passa por cima do eixo y , apesar de parecer assim no desenho:

O ângulo que r → 1 forma com o segmento A B - é:

arctan ⁡ 200 300 = 33,69 °

E como o eixo y forma um ângulo de 30 ° com esse mesmo segmento, o ângulo entre r → 1 e o eixo y é:

ϕ = 33,69 ° - 30,00 ° = 3,69 °

Então podemos escrever o vetor da seguinte forma:

r → 1 = 360 - sen ⁡ 3,69 ° i ^ + cos ⁡ 3,69 °     j ^

r → 1 = - 23,211   i ^ + 359,8   j ^   m m

Passo 3

Agora vamos procurar uma expressão como essa para r → 2 . Mais uma vez, começamos pelo módulo:

r 2 = 300 + 150 2 + 200 2 = 492,4   m m

E mais uma vez vamos procurar o ângulo em relação ao eixo y :

α = 30 ° + arctan ⁡ 200 450 = 53,96 °

E então as componentes do vetor são:

r → 2 = 492,4 sen ⁡ 53,96 ° i ^ + cos ⁡ 53,96 °   j ^

r → 2 = 398,2   i ^ + 289,7   j ^   m m

Passo 4

Agora já podemos calcular o momento com a fórmula que escrevemos no primeiro passo:

M → = r → 1 - r → 2 × F →

M → = - 23,211   i ^ + 359,8   j ^ - 398,2   i ^ + 289,7   j ^ ×   F →

M → = - 421,4   i ^ + 70,10   j ^ × 100   k ^

Vamos reescrever esse produto vetorial como o determinante de uma matriz:

M → = i ^ j ^ k ^ - 421,4 70,10 0 0 0 100

M → = 7011   i ^ + 4214 0   j ^   N ∙ m m

Convertendo para N ∙ m , ficamos com:

M → = 7,01   i ^ + 42,1   j ^   N ∙ m

Resposta

O momento de binário que atua na montagem é M → = 7,01   i ^ + 42,1   j ^   N ∙ m .

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