Enunciado

O redutor de velocidade está sujeito aos momentos de binário mostrados na figura. Determine o momento de binário resultante, especificando sua intensidade e os ângulos diretores coordenados.

Passo 1

Vamos começar escrevendo cada um dos momentos em forma vetorial:

M → 1 = 60   i ^   l b ∙ p é s

E para o vetor M → 2 precisamos ter um pouco mais de cuidado, pois temos que projetá-lo em mais de uma etapa, a primeira para colocá-lo no plano x y , e depois de novoo para achar as componentes nesse plano:

M → 2 , x y = - 80 cos ⁡ 30 °

E a partir daí podemos calcular suas componentes em x e y :

M → 2 = - 80 cos ⁡ 30 ° sen ⁡ 45 °   i ^ + cos ⁡ 45 ° j ^ - 80 sen ⁡ 30 °

M → 2 = - 49,0   i ^ - 49,0   j ^ + 40   k ^   l b ∙ p é s

E para a componente z não precisamos de duas projeções, basta usar o ângulo de 30 ° .

Agora podemos fazer a soma vetorial desses dois momentos para encontrar M → :

M → = M → 1 + M → 2

M → = 60   i ^ + - 49,0   i ^ - 49,0   j ^ + 40   k ^

M → = 11,0   i ^ - 49,0   j ^ - 40   k ^   l b ∙ p é s

Passo 2

Agora vamos calcular a intensidade desse vetor:

M = 11,0 2 + 49,0 2 + 40 2 = 64,2   l b ∙ p é s

E para encontrar o ângulo θ que o vetor forma com um eixo i qualquer, só precisamos usar a seguinte fórmula:

cos ⁡ ( θ ) = M i M

Fazendo isso para cada um dos eixos, temos os seguintes resultados:

α = arccos ⁡ M x M = arccos ⁡ 11,0 64,2   = 80,1 °

β = arccos ⁡ M y M = arccos ⁡ - 49,0 64,2   = 140 °

γ = arccos ⁡ M z M = arccos ⁡ - 40 64,2   = 129 °

Onde α , β e γ são os ângulos formados pelo vetor com os eixos x , y e z , respectivamente.

Resposta

O momento de binário resultante tem intensidade M = 64,2   l b ∙ p é s   , e os ângulos diretores são α = 80,1 ° , β = 140 ° e γ = 129 ° ( x , y e z , respectivamente).

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