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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 16

10.16 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x .

Passo 1

A fórmula do momento de inércia em relação ao eixo x é

I x = ∫ A y 2 d A

Nós precisamos escolher um elemento infinitesimal de área que seja paralelo ao eixo x :

O elemento infinitesimal de área vai ser igual a

d A = x d y

Isolando x na função dada:

y = h b ( b - x )

b h y = b - x

x = b - b h y

Então

d A = b - b h y d y

E os limites de integraçãoo vão ir de 0 até h.

Passo 2

Agora é só reolver a integral

I x = ∫ A y 2 d A

I x = ∫ 0 h y 2 b - b h y d y

I x = ∫ 0 h b y 2 - b h y 3 d y

b e h são constantes, então essa é uma integral de um polinômio simples:

I x = b ⋅ y 3 3 - b h ⋅ y 4 4 0 h

Substituindo os limites de integração:

I x = b ⋅ h 3 3 - b h ⋅ h 4 4 - b ⋅ 0 3 3 - b h ⋅ 0 4 4

I x = b h 3 3 - b h 3 4 - 0

I x = 4 b h 3 - 3 b h 3 12

I x = b h 3 12   m 4

Resposta

I x = b h 3 12   m 4

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