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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 18

10.18 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x .

Passo 1

A fórmula do momento de inércia em relação ao eixo x é

I x = ∫ A y 2 d A

Nós precisamos escolher um elemento infinitesimal de área que seja paralelo ao eixo x :

O elemento infinitesimal de área vai ser igual a

d A = x d y

Isolando x na função dada:

y = h b 2 x 2

x 2 = b 2 h y

x = b 2 h y

x = b h y

Então

d A = b h y d y

E os limites de integraçãoo vão ir de 0 até h , porque vamos integrar em y .

Passo 2

Agora é só reolver a integral

I x = ∫ A y 2 d A

I x = ∫ 0 h y 2 b h y d y

Quando a gente multiplica o mesmo número com expoentes diferentes, devemos somar os expoentes:

I x = ∫ 0 h b h y ⋅ y 2 d y

I x = ∫ 0 h b h y 1 / 2 ⋅ y 2 d y

I x = ∫ 0 h b h y 2 + 1 / 2 d y

I x = ∫ 0 h b h y 5 / 2 d y

b e h são constantes, então essa é uma integral de um polinômio simples:

I x = b h ⋅ 2 y 7 / 2 7 0 h

I x = b h ⋅ 2 h 7 / 2 7 - b h ⋅ 2 0 7 / 2 7

I x = b h 1 / 2   ⋅ 2 h 7 / 2 7 - 0

E quando a gente divide o mesmo número com expoentes diferentes, devemos subtrair os expoentes:

I x = b ⋅ 2 h 7 / 2 - 1 / 2 7 - 0

I x = b ⋅ 2 h 6 / 2 7

I x = 2 b h 3 7   m 4

Resposta

I x = 2 b h 3 7   m 4

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