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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 25

10.25 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo y .

Passo 1

A fórmula do momento de inércia em relação ao eixo y é

I y = ∫ A x 2 d A

Nós precisamos escolher um elemento infinitesimal de área que seja paralelo ao eixo y :

O elemento infinitesimal de área vai ser igual a

d A = 2 y d x

Isolando o valor de y :

x 2 + y 2 = r 0 2

y 2 = r 0 2 - x 2

y = r 0 2 - x 2

Então

d A = 2 r 0 2 - x 2 d x

E os limites de integraçãoo vão ir de 0 até r 0 .

Passo 2

Agora é só reolver a integral

I y = ∫ A x 2 d A

I y = ∫ 0 r 0 x 2 2 r 0 2 - x 2 d x

I y = 2 ∫ 0 r 0 x 2 r 0 2 - x 2 d x

Vamos usar a técnica de substituição

x = r 0 sen ⁡ u

Então

d x = r 0 cos ⁡ u d u

Os limites de integração vão ficar dessa forma:

Quando x → 0

0 = r 0 sen ⁡ u

sen ⁡ u = 0

u = 0

E quando x → r 0

r 0 = r 0 sen ⁡ u

sen ⁡ u = 1

u = π 2

A equação fica

I y = 2 ∫ 0 π / 2 ( r 0 sen ⁡ u ) 2 r 0 2 - ( r 0 sen ⁡ u ) 2 ⋅ r 0 cos ⁡ u d u

I y = 2 ∫ 0 π / 2 r 0 2 sen 2 ⁡ u ⋅ r 0 2 ( 1 - sen 2 ⁡ u ) ⋅ r 0 cos ⁡ u d u

I y = 2 ∫ 0 π / 2 r 0 2 sen 2 ⁡ u ⋅ r 0 1 - sen 2 ⁡ u ⋅ r 0 cos ⁡ u d u

I y = 2 ∫ 0 π / 2 r 0 4 sen 2 ⁡ u ⋅ 1 - sen 2 ⁡ u ⋅ cos ⁡ u d u

Pelas relações trigonométricas, nós sabemos que

sen 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1

cos 2 ⁡ u = 1 - sen 2 ⁡ u

cos ⁡ u = 1 - sen 2 ⁡ u

Podemos substituir o cos ⁡ u na integral.

I y = 2 ∫ 0 π / 2 r 0 4 sen 2 ⁡ u ⋅ cos ⁡ u ⋅ cos ⁡ u d u

I y = 2 ∫ 0 π / 2 r 0 4 sen 2 ⁡ u ⋅ cos 2 ⁡ u d u

Aqui vamos ter que lembrar de umas bruxarias da trigonometria

sen ⁡ 2 a = 2 sen ⁡ a ⋅ cos ⁡ a

sen ⁡ a ⋅ cos ⁡ a = sen ⁡ 2 a 2

Se a gente elevar ao quadrado, os dois lados dessa equação:

sen 2 ⁡ a ⋅ cos 2 ⁡ a = sen 2 ⁡ 2 a 4

Então podemos reescrever a integral, como:

I y = 2 ∫ 0 π / 2 r 0 4 sen 2 ⁡ ( 2 u ) 4 d u

Vamos tirar as constantes para fora da integral

I y = r 0 4 2 ∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ ( 2 u ) d u

Mais uma coisinha da trigonometria:

sen 2 ⁡ a = 1 - cos ⁡ 2 a 2

Então

sen 2 ⁡ ( 2 u ) = 1 - cos ⁡ 4 u 2

Substituindo na integral

I y = r 0 4 2 ∫ 0 π / 2 1 - cos ⁡ 4 u 2 d u

Tirando, novamente, a constante para fora da integral

I y = r 0 4 4 ∫ 0 π / 2 1 - cos ⁡ 4 u d u

I y = r 0 4 4 u - sin ⁡ 4 u 4 0 π / 2

I y = r 0 4 4 π 2 - sin ⁡ 4 π 2 4 - 0 - sin ⁡ 4 0 4

I y = r 0 4 4 π 2 - 0 - 0

I y = r 0 4 8 π

Resposta

I y = r 0 4 8 π

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