Enunciado

10.46 Determine o momento de inércia da área composta em relação ao eixo y .

Passo 1

Falaaa! Cara, queremos o momento de inércia em relação ao eixo y , e temos uma figura composta, vamos separa-la em figuras mais simples.

Vamos separar essa área desse jeito:

O momento de inércia total será a soma dos momentos de inercia das áreas 1, 2 e 3.

I y = I y 1 + I y 2 + I y 3

Pela tabela, sabemos que o momento de inércia de um triângulo é igual a 1 36 h b 3 , onde h é a dimensão do segmento paralelo ao eixo que queremos o momento de inércia, o y .

Como seu centroide não está no eixo y , precisamos usar o teorema dos eixos paralelos. Então o momento de inercia de 1 é:

I y 1 = 1 36 h 1 b 1 3 + A 1 d 1 2

Também pela tabela, nós sabemos que o momento de inercia de um retângulo é igual a 1 12 h b 3 , precisamos utilizar o teorema dos eixos paralelos apenas para o retângulo 2, pois o centroide de 3 coincide com o eixo y :

I y 2 = 1 12 h 2 b 2 3 + A 2 d 2 2

e

I y 3 = 1 12 h 3 b 3 3

Partiu calcular!

Passo 2

Cara, vamos olhar para figura e achar o que a gente precisa.

h 1 = 150

b 1 = 150

Para os retângulos, h é também a dimensão do segmento paralelo a y , b é paralelo a x :

h 2 = 150

b 2 = 150

h 3 = 150

b 3 = 300

d é distância do eixo y até o centroide de cada figura. Do retângulo o centroide é no meio, então d fica:

d 2 = 150 2

d 2 = 75   m m

Agora para o triângulo, o centroide é 1 / 3 de distância da base do triângulo, então fica:

d 1 = 150 3

d 1 = 50   m m

As áreas vao ser:

A 1 = b h 2

A 1 = 1 2 150 150

e

A 2 = b h

A 2 = 150 150

Passo 3

Vamos calcular os três momentos de inercia e então soma-los:

Triângulo 1:

I y 1 = 1 36 h 1 b 1 3 + A 1 d 1 2

I y 1 = 1 36 150 150 3 + 1 2 150 150 50 2

I y 1 = 42,2 ⋅ 10 6   m m 4

Retângulo 2:

I y 2 = 1 12 150 150 3 + 150 150 75 2

I y 2 = 168,8 ⋅ 10 6   m m 4

Retângulo 3:

I y 3 = 1 12 150 300 3

I y 3 = 337,5 ⋅ 10 6   m m 4

Então, somando os três valores, vamos obter:

I y = 42,2 ⋅ 10 6 + 168,8 ⋅ 10 6 + 337,5 ⋅ 10 6

I y = 548 ⋅ 10 6   m m 4

Resposta

I y = 548 ⋅ 10 6   m m 4

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